Encontre a área limitada pelas curvas f(x)=x^{2}-1 e g(x)=x+1.

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a área limitada pelas curvas f(x)=x^{2}-1 e g(x)=x+1".\n
Informações dadas:
  • Temos duas funções: f(x)=x^{2}-1 e g(x)=x+1.
  • A área pedida é a região do plano limitada por essas duas curvas (ou seja, a região onde elas se interceptam e formam um “fechamento”).\n
    O que precisamos encontrar antes de integrar:
  • Os pontos de interseção entre f e g (esses serão os limites de integração).
  • Qual das duas funções fica “acima” da outra entre esses pontos (para integrarmos sempre a função superior menos a inferior).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo f(x)=g(x). Igualando as funções:
x^{2}-1 = x+1.
Passo a passo: movemos tudo para um lado para obter uma equação quadrática:
x^{2}-x-2 = 0.
Fatorando o polinômio (buscamos dois números que multiplicam -2 e somam -1): esses são -2 e 1. Logo
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto as raízes são
x=2\quad\text{e}\quad x=-1.
Esses são os pontos onde as curvas se cruzam, então a região limitada está entre x=-1 e x=2.

Passo 3

Precisamos saber qual função é a superior (maior em y) para x entre -1 e 2. Uma forma simples: testar um ponto interno, por exemplo x=0. Calculamos
f(0)=0^{2}-1=-1,
g(0)=0+1=1.
Como g(0)=1 > f(0)=-1, concluímos que, entre x=-1 e x=2, a reta g(x)=x+1 está acima da parábola f(x)=x^{2}-1. (Isto também faz sentido porque a parábola abre para cima e entre as raízes ela fica abaixo da reta nesse caso.)

Passo 4

Fórmula para a área entre duas curvas: se duas curvas se interceptam em x=a e x=b e a função superior é h_{\text{top}}(x) e a inferior é h_{\text{bot}}(x), então a área A da região limitada é
A=\int_{a}^{b}\bigl(h_{\text{top}}(x)-h_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui temos a=-1, b=2, h_{\text{top}}(x)=g(x)=x+1 e h_{\text{bot}}(x)=f(x)=x^{2}-1.

Passo 5

Montamos o integrando e simplificamos:
g(x)-f(x)=(x+1)-(x^{2}-1) = -x^{2}+x+2.
Portanto a área é
A=\int_{-1}^{2}(-x^{2}+x+2)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo usando a regra da potência para integrais: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1) e a linearidade da integral. Um antiderivado para -x^{2}+x+2 é
F(x) = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x.
(Verificação rápida: derivando F(x) obtemos -x^{2}+x+2.)

Passo 7

Avaliar a integral definida usando F:
A=F(2)-F(-1).
Calculamos F(2):
F(2) = -\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{2}}{2}+2\cdot 2 = -\frac{8}{3}+ \frac{4}{2}+4 = -\frac{8}{3}+2+4 = -\frac{8}{3}+6 = \frac{10}{3}.
Calculamos F(-1):
F(-1) = -\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}+2(-1) = -\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}-2 = \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2.
Somando as frações em F(-1): \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}. Então
F(-1)=\frac{5}{6}-2=\frac{5}{6}-\frac{12}{6}=-\frac{7}{6}.
Agora a diferença:
A = F(2)-F(-1)=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.

Passo 8

Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas é \dfrac{9}{2}. Se quiser visualizar, imagine a parábola y=x^{2}-1 com raízes em x=\pm1 e a reta y=x+1 cruzando a parábola em x=-1 e x=2; entre esses x a reta fica acima e a área entre elas é dada pela integral que calculamos. Você fez direitinho — respira, tá pronto pra próxima!

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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