Encontre a área limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a área limitada pelas curvas
e
".\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos duas funções:
e . - A área pedida é a região do plano limitada por essas duas curvas (ou seja, a região onde elas se interceptam e formam um “fechamento”).\n
O que precisamos encontrar antes de integrar: - Os pontos de interseção entre
e (esses serão os limites de integração). - Qual das duas funções fica “acima” da outra entre esses pontos (para integrarmos sempre a função superior menos a inferior).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção resolvendo
. Igualando as funções:
Passo a passo: movemos tudo para um lado para obter uma equação quadrática:
Fatorando o polinômio (buscamos dois números que multiplicam
e somam
): esses são
e
. Logo
Portanto as raízes são
Esses são os pontos onde as curvas se cruzam, então a região limitada está entre
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual função é a superior (maior em
) para
entre
e
. Uma forma simples: testar um ponto interno, por exemplo
. Calculamos
Como
, concluímos que, entre
e
, a reta
está acima da parábola
. (Isto também faz sentido porque a parábola abre para cima e entre as raízes ela fica abaixo da reta nesse caso.)
Passo 4
Fórmula para a área entre duas curvas: se duas curvas se interceptam em
e
e a função superior é
e a inferior é
, então a área
da região limitada é
Aqui temos
,
,
e
.
Passo 5
Montamos o integrando e simplificamos:
Portanto a área é
Passo 6
Integramos termo a termo usando a regra da potência para integrais:
(para
) e a linearidade da integral. Um antiderivado para
é
(Verificação rápida: derivando
obtemos
.)
Passo 7
Avaliar a integral definida usando
:
Calculamos
:
Calculamos
:
Somando as frações em
:
. Então
Agora a diferença:
Colocando em denominador comum
:
Passo 8
Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas é
. Se quiser visualizar, imagine a parábola
com raízes em
e a reta
cruzando a parábola em
e
; entre esses
a reta fica acima e a área entre elas é dada pela integral que calculamos. Você fez direitinho — respira, tá pronto pra próxima!