Encontre a área limitada pelas curvas:
x+2 y=2, x+2 y=4, x-y=2, x-y=7;

Passo 1

Ok, vamos lá! Precisamos encontrar a área limitada pelas curvas dadas pelas equações das retas:
x + 2y = 2, x + 2y = 4, x - y = 2, x - y = 7
Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com o cálculo da área delimitada por retas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção dessas retas, identificar a forma que elas delimitam e calcular a área dessa figura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas. Isso significa resolver sistemas de duas equações para descobrir onde elas se cruzam.

Passo 3

Vamos resolver os seguintes pares de equações:
  1. Interseção de x + 2y = 2 x - y = 2 e 3y = 0 implies y = 0 :
    x = 2
    Subtraindo a segunda equação da primeira:
    x + 2y = 2 x - y = 7
    Substituindo 3y = -5 implies y = -53 na segunda equação:
    x = 7 + (-53) = 163
    Então, o ponto de interseção é x + 2y = 4 x - y = 2 .
  2. Interseção de 3y = 2 implies y = 23 e x = 2 + 23 = 83 :
    x + 2y = 4 x - y = 7
    Subtraindo a segunda equação da primeira:
    3y = -3 implies y = -1
    Substituindo x = 7 + (-1) = 6 na segunda equação:
    Então, o ponto de interseção é .
  3. Interseção de e :
    Subtraindo a segunda equação da primeira:
    Substituindo na segunda equação:
    Então, o ponto de interseção é .
  4. Interseção de e :
    Subtraindo a segunda equação da primeira:
    Substituindo na segunda equação:
    Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora temos os quatro pontos de interseção que formam uma figura fechada:
(2, 0), (83, 23), (6, -1), (163, -53)
Vamos visualizar esses pontos em um gráfico para entender melhor a forma que eles delimitam. Eles formam um quadrilátero.

Passo 5

Para calcular a área desse quadrilátero, vamos usar a fórmula do polígono de Shoelace (ou fórmula de Gauss), que é uma maneira eficiente de encontrar a área de um polígono quando conhecemos as coordenadas dos seus vértices.
A fórmula é:
Área = 12 | sumi=1^n (xi yi+1) - sumi=1^n (yi xi+1) | Á
Onde & (2, 0) & (83, 23) & (6, -1) & (163, -53) & (2, 0) (retornando ao primeiro ponto) é o número de vértices e & sum (xi yi+1) = 2 times 23 + 83 times (-1) + 6 times (-53) + 163 times 0 = 43 - 83 - 10 + 0 = -343 & sum (yi xi+1) = 0 times 83 + 23 times 6 + (-1) times 163 + (-53) times 2 = 0 + 4 - 163 - 103 = -143 & Área = 12 | -343 - (-143) | = 12 | -203 | = 12 times 203 = 103 , .
Vamos aplicar isso aos nossos pontos:
Calculando as somas:
Á

Resposta

A área limitada pelas curvas é unidades de área.

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