Ok, vamos lá! Precisamos encontrar a área limitada pelas curvas dadas pelas equações das retas:
Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com o cálculo da área delimitada por retas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção dessas retas, identificar a forma que elas delimitam e calcular a área dessa figura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas. Isso significa resolver sistemas de duas equações para descobrir onde elas se cruzam.
Passo 3
Vamos resolver os seguintes pares de equações:
Interseção de e :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .
Interseção de e :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .
Interseção de e :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .
Interseção de e :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora temos os quatro pontos de interseção que formam uma figura fechada:
Vamos visualizar esses pontos em um gráfico para entender melhor a forma que eles delimitam. Eles formam um quadrilátero.
Passo 5
Para calcular a área desse quadrilátero, vamos usar a fórmula do polígono de Shoelace (ou fórmula de Gauss), que é uma maneira eficiente de encontrar a área de um polígono quando conhecemos as coordenadas dos seus vértices.
A fórmula é:
Onde & (2, 0) & (83, 23) & (6, -1) & (163, -53) & (2, 0) (retornando ao primeiro ponto) é o número de vértices e & sum (xi yi+1) = 2 times 23 + 83 times (-1) + 6 times (-53) + 163 times 0 = 43 - 83 - 10 + 0 = -343 & sum (yi xi+1) = 0 times 83 + 23 times 6 + (-1) times 163 + (-53) times 2 = 0 + 4 - 163 - 103 = -143 & Área = 12 | -343 - (-143) | = 12 | -203 | = 12 times 203 = 103 , .