Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime prime prime(t)=e^t+t^-4

Passo 1

O enunciado dá a terceira derivada de uma função f,
f'''(t)=e^t+t^-4,
e pede a primitiva mais geral, ou seja, queremos encontrar f(t) tal que, ao derivar três vezes, recuperemos e^t+t^-4. O conteúdo envolvido é integração de funções elementares repetida três vezes.

Passo 2

Primeira integração: achamos f''(t) integrando f'''(t). Usamos
integral e^t,dt=e^t, integral t^-4,dt=t^-3-3=-13t^-3
Assim
f''(t)=e^t-13t^-3+C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 3

Segunda integração: achamos f'(t) integrando f''(t). Temos
integral e^t,dt=e^t, integrall(-tfrac13t^-3r),dt =-tfrac13cdott^-2-2 =16t^-2, integral C1,dt=C1t
Logo
f'(t)=e^t+16t^-2+C1t+C2

Passo 4

Terceira integração: achamos f(t) integrando f'(t). Calculamos
integral e^t,dt=e^t, integral16t^-2,dt =16cdott^-1-1 =-16t, integral C1t,dt=C12t^2, integral C2,dt=C2t
Incluímos também uma nova constante C3. Portanto
f(t)=e^t-16t+C12t^2+C2t+C3

Passo 5

Renomeando as constantes para ficar mais compacto, seja
A=C12, B=C2, C=C3
Assim a primitiva mais geral é
f(t)=e^t-16t+A,t^2+B,t+C,
e de fato ao derivar três vezes volta-se a e^t+t^-4.

Resposta

boxedf(t)=e^t-16t+A,t^2+B,t+C, A,B,CinR

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