Encontre a área limitada pela parábola y^2=2 x-2 e reta y=x-5, usando retângulos horizontais e a origem, e a seguir usando retângulos verticais. R=18.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola
y^2 = 2x - 2
e pela reta
y = x - 5
Vamos usar dois métodos de integração: primeiro retângulos horizontais (variável de integração y) e depois retângulos verticais (variável de integração x). Para isso precisamos achar os pontos de interseção dessas curvas.

Passo 2

Calculando a interseção, substituímos x = y+5 em y^2 = 2x - 2:
y^2 = 2(y+5) - 2 = 2y + 10 - 2 = 2y + 8 Longrightarrow y^2 - 2y - 8 = 0
que fatoriza como (y-4)(y+2)=0, logo y=-2 ou y=4. Nessas alturas, x = y+5 x=3 e x=9. Assim a região em y vai de -2 a 4.
Para cortes horizontais, expressamos
xesq(y) = y^2+22, xdir(y) = y + 5,
logo
Área = integraly=-2^4 l[xdir(y) - xesq(y)r],dy = integral-2^4 l((y+5) - y^2+22r),dy Á

Passo 3

Vamos calcular
integral-2^4 l(y +5 - tfracy^2+22r)dy = integral-2^4 l(y +4 - tfrac12y^2r) dy
Uma primitiva é
F(y) = y^22 + 4y - y^36
Avaliaremos de -2 a 4:
F(4) = 8 + 16 - 646 = 24 - 323 = 403, F(-2) = 2 - 8 -l(-86r) = -6 + 43 = -143
Logo a área é
F(4)-F(-2) = 403 - l(-143r) = 543 = 18

Passo 4

Para retângulos verticais precisamos notar que a região é fechada por três trechos: a parte da parábola de y=-2 a y=0 (ramo inferior), depois de y=0 a y=4 (ramo superior) e o segmento da reta entre (3,-2) e (9,4). Em termos de x:
– Para 1<= x<=3 (do vértice x=1 até a interseção x=3) a região está entre as duas raízes da parábola
ypm(x) = pmraiz2x-2,
então
A1 = integral1^3 l(raiz2x-2 - (-raiz2x-2)r),dx = 2integral1^3raiz2x-2,dx
– Para 3<= x<=9 a parte inferior é a reta y = x-5 e a parte superior é o ramo positivo da parábola, então
A2 = integral3^9 l(raiz2x-2 - (x-5)r),dx
Fazendo a substituição u=2x-2 no primeiro termo e calculando o polinômio no segundo, encontra-se
A1 = 163, A2 = 383,
e somando dá
A1 + A2 = 163 + 383 = 543 = 18

Resposta

A área da região é 18.

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