Encontre a área limitada pela parábola
e reta
, usando retângulos horizontais e a origem, e a seguir usando retângulos verticais.
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela parábola
e pela reta
Vamos usar dois métodos de integração: primeiro retângulos horizontais (variável de integração
) e depois retângulos verticais (variável de integração
). Para isso precisamos achar os pontos de interseção dessas curvas.
Passo 2
Calculando a interseção, substituímos
em
:
que fatoriza como
, logo
ou
. Nessas alturas,
dá
e
. Assim a região em
vai de
a
.
Para cortes horizontais, expressamos
logo
Passo 3
Vamos calcular
Uma primitiva é
Avaliaremos de
a
:
Logo a área é
Passo 4
Para retângulos verticais precisamos notar que a região é fechada por três trechos: a parte da parábola de
a
(ramo inferior), depois de
a
(ramo superior) e o segmento da reta entre
e
. Em termos de
:
– Para
(do vértice
até a interseção
) a região está entre as duas raízes da parábola
então
– Para
a parte inferior é a reta
e a parte superior é o ramo positivo da parábola, então
Fazendo a substituição
no primeiro termo e calculando o polinômio no segundo, encontra-se
e somando dá
Resposta
A área da região é
.