Exercício 1. Calcule a derivada f^prime(x) :
f(x)=cos (1-e^2 x1+e^2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cos!l(1-e^2x1+e^2xr)
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente.

Passo 2

A regra da cadeia diz que, para
f(x)=cosl(h(x)r),
temos
f'(x)=-sinl(h(x)r),cdot,h'(x),
onde
h(x)=1-e^2x1+e^2x

Passo 3

Para calcular h'(x) usamos a regra do quociente. Defina
u(x)=1-e^2x, v(x)=1+e^2x,
então
u'(x)=-2e^2x, v'(x)=2e^2x
e
h'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =-2e^2x(1+e^2x)-(1-e^2x)2e^2x(1+e^2x)^2 =-4e^2x(1+e^2x)^2

Passo 4

Substituindo h'(x) em f'(x) e simplificando os sinais, obtemos
f'(x) =-sin!l(h(x)r),l(-4e^2x(1+e^2x)^2r) =4e^2x(1+e^2x)^2,sin!l(1-e^2x1+e^2xr)

Resposta

f'(x)=4e^2x(1+e^2x)^2,sin!l(1-e^2x1+e^2xr)

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