O objetivo é determinar u(x,t) que satisfaça a PDE com essas condições. Vou construir uma solução via expansão em modos (separação de variáveis e desenvolvimento da condição inicial u_t(x,0) na base de autovetores espaciais que respeitam as condições de contorno).
Passo 2
Proponho uma solução por separação de variáveis: u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE e dividindo por X(x)T(t) obtém-se a igualdade entre uma função só de t e uma só de x, logo ambas iguais a uma constante -\lambda:
Caso \lambda=0: então X''=0 e X(x)=Ax+B. Da condição X'(0)=A=0 segue X constante; da condição X(2)=0 vem B=0. Só a solução trivial, portanto \lambda=0 não gera modo útil.
Caso \lambda>0: escreva \lambda=k^{2} com k>0. A solução geral é
X(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Da condição X'(0)=0 obtemos B k=0\Rightarrow B=0. Logo X(x)=A\cos(kx). A condição X(2)=0 dá
Ou seja, expandimos a função f(x)=4-x^{2} na base \{\cos(k_{n}x)\}. Como as funções estão normalizadas (\int_{0}^{2}\cos^{2}(k_{n}x)\,dx=1), o coeficiente de projeção é simplesmente
Esta série fornece a solução que satisfaz a PDE, as condições de contorno e as condições iniciais. Cada passo foi baseado em propriedades de separação de variáveis, resolução do problema de autovalores com condições mistas (Neumann em x=0 e Dirichlet em x=2), ortogonalidade dos modos e expansão da condição inicial u_{t}(x,0) na base formada por esses modos.