Resolva os problemas
(d) \left\{\begin{array}{l}u_{t t}=9 u_{x x}, 0<x<2, t>0, \\\ u_{x}(0, t)=0, u(2, t)=0, t>0, \\\ u(x, 0)=0, u_{t}(x, 0)=4-x^{2}, 0 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação da onda com condições mistas e condições iniciais. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • PDE: u_{t t}=9\,u_{x x},\qquad 0<x<2,\; t>0.
  • Condições de contorno: u_{x}(0,t)=0,\qquad u(2,t)=0,\qquad t>0.
  • Condições iniciais: u(x,0)=0,\qquad u_{t}(x,0)=4-x^{2},\qquad 0\le x\le 2.
O objetivo é determinar u(x,t) que satisfaça a PDE com essas condições. Vou construir uma solução via expansão em modos (separação de variáveis e desenvolvimento da condição inicial u_t(x,0) na base de autovetores espaciais que respeitam as condições de contorno).

Passo 2

Proponho uma solução por separação de variáveis: u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE e dividindo por X(x)T(t) obtém-se a igualdade entre uma função só de t e uma só de x, logo ambas iguais a uma constante -\lambda:
\frac{T''(t)}{T(t)}=9\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
Isso gera dois ODEs acoplados:
X''(x)+\lambda X(x)=0, \qquad T''(t)+9\lambda\,T(t)=0.
As condições de contorno impõem restrições a X:
X'(0)=0,\qquad X(2)=0.

Passo 3

Analisar o problema de autovalores para X.
  • Caso \lambda=0: então X''=0 e X(x)=Ax+B. Da condição X'(0)=A=0 segue X constante; da condição X(2)=0 vem B=0. Só a solução trivial, portanto \lambda=0 não gera modo útil.
  • Caso \lambda>0: escreva \lambda=k^{2} com k>0. A solução geral é
X(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Da condição X'(0)=0 obtemos B k=0\Rightarrow B=0. Logo X(x)=A\cos(kx). A condição X(2)=0
\cos(2k)=0 \quad\Rightarrow\quad 2k=\frac{(2n+1)\pi}{2},\; n=0,1,2,\dots
Logo os valores admissíveis de k são
k_{n}=\frac{(2n+1)\pi}{4},\qquad n=0,1,2,\dots
e os autovalores \lambda_{n}=k_{n}^{2}. Os autofunções (modos espaciais) correspondentes, tomando A=1 para formar uma base, são
X_{n}(x)=\cos(k_{n}x)=\cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{4}x\right).
Observação útil: os X_{n} são ortogonais no intervalo [0,2] com produto interno usual \int_{0}^{2}X_{n}X_{m}\,dx. Calcula-se a norma:
\int_{0}^{2}\cos^{2}(k_{n}x)\,dx = \left[\frac{x}{2}+\frac{\sin(2k_{n}x)}{4k_{n}}\right]_{0}^{2} =1+\frac{\sin(4k_{n})}{4k_{n}}.
Mas 4k_{n}=(2n+1)\pi e \sin((2n+1)\pi)=0. Logo
\int_{0}^{2}\cos^{2}(k_{n}x)\,dx=1.
Portanto, cada X_{n} tem norma 1 em [0,2] (boa notícia: estão normalizados).

Passo 4

Resolver o ODE temporal para cada modo. Para \lambda=\lambda_{n}=k_{n}^{2} o ODE temporal é
T''(t)+9k_{n}^{2}T(t)=0.
Sua solução geral é
T_{n}(t)=A_{n}\cos(3k_{n}t)+B_{n}\sin(3k_{n}t),
pois \sqrt{9k_{n}^{2}}=3k_{n}.
Portanto cada modo contribui para u como
u_{n}(x,t)=\big(A_{n}\cos(3k_{n}t)+B_{n}\sin(3k_{n}t)\big)\cos(k_{n}x).
A solução geral é a soma (série) sobre n:
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\big(A_{n}\cos(3k_{n}t)+B_{n}\sin(3k_{n}t)\big)\cos(k_{n}x).

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para achar os coeficientes A_{n} e B_{n}.
  • Da condição u(x,0)=0 obtemos
u(x,0)=\sum_{n=0}^{\infty}A_{n}\cos(k_{n}x)=0\quad\text{para }0\le x\le2.
Pela ortogonalidade dos \cos(k_{n}x), isso implica A_{n}=0 para todo n.
  • Da condição u_{t}(x,0)=4-x^{2} temos
u_{t}(x,0)=\sum_{n=0}^{\infty}B_{n}\,3k_{n}\cos(k_{n}x)=4-x^{2}.
Ou seja, expandimos a função f(x)=4-x^{2} na base \{\cos(k_{n}x)\}. Como as funções estão normalizadas ( \int_{0}^{2}\cos^{2}(k_{n}x)\,dx=1), o coeficiente de projeção é simplesmente
a_{n}=\int_{0}^{2}f(x)\cos(k_{n}x)\,dx.
Igualando os coeficientes, tem-se
3k_{n}B_{n}=a_{n}\quad\Rightarrow\quad B_{n}=\frac{a_{n}}{3k_{n}}.
Logo a solução final será
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n}}{3k_{n}}\sin(3k_{n}t)\cos(k_{n}x),
com a_{n}=\int_{0}^{2}(4-x^{2})\cos(k_{n}x)\,dx.

Passo 6

Calcular o coeficiente a_{n}=\int_{0}^{2}(4-x^{2})\cos(kx)\,dx com k=k_{n}. Separar em duas integrais:
a_{n}=4\int_{0}^{2}\cos(kx)\,dx-\int_{0}^{2}x^{2}\cos(kx)\,dx.
A primeira é imediata:
4\int_{0}^{2}\cos(kx)\,dx=4\left[\frac{\sin(kx)}{k}\right]_{0}^{2}= \frac{4\sin(2k)}{k}.
Agora calcular J=\int_{0}^{2}x^{2}\cos(kx)\,dx. Usar integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes: escolha u=x^{2}, dv=\cos(kx)\,dx. Então du=2x\,dx, v=\frac{\sin(kx)}{k}. Assim
J=\left.\frac{x^{2}\sin(kx)}{k}\right|_{0}^{2}-\frac{2}{k}\int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx =\frac{4\sin(2k)}{k}-\frac{2}{k}L,
onde L=\int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx.
Segunda integração por partes para L: escolha u=x, dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx, v=-\frac{\cos(kx)}{k}. Assim
L=\left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{2}+\frac{1}{k}\int_{0}^{2}\cos(kx)\,dx =-\frac{2\cos(2k)}{k}+\frac{1}{k}\cdot\frac{\sin(2k)}{k}.
Mas \cos(2k) aqui será zero, porque para nossos autovalores k=k_{n} tem-se 2k_{n}=(2n+1)\pi/2 e \cos(2k_{n})=0. Logo
L=\frac{\sin(2k)}{k^{2}}.
Substituindo em J:
J=\frac{4\sin(2k)}{k}-\frac{2}{k}\cdot\frac{\sin(2k)}{k^{2}} =\sin(2k)\left(\frac{4}{k}-\frac{2}{k^{3}}\right).
Agora voltar a a_{n}:
a_{n}=\frac{4\sin(2k)}{k}-J =\frac{4\sin(2k)}{k}-\sin(2k)\left(\frac{4}{k}-\frac{2}{k^{3}}\right) =\sin(2k)\cdot\frac{2}{k^{3}}.
Portanto, para k=k_{n},
a_{n}=\frac{2\sin(2k_{n})}{k_{n}^{3}}.

Passo 7

Avaliar \sin(2k_{n}). Recordando k_{n}=\dfrac{(2n+1)\pi}{4}, temos
2k_{n}=\frac{(2n+1)\pi}{2},
então
\sin(2k_{n})=\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)=(-1)^{n}.
Logo
a_{n}=\frac{2(-1)^{n}}{k_{n}^{3}}.
Assim os coeficientes temporais B_{n} são
B_{n}=\frac{a_{n}}{3k_{n}}=\frac{2(-1)^{n}}{3k_{n}^{4}}.
Para expressar tudo explicitamente em n, recordar k_{n}=\dfrac{(2n+1)\pi}{4}. Então
k_{n}^{4}=\frac{(2n+1)^{4}\pi^{4}}{4^{4}}=\frac{(2n+1)^{4}\pi^{4}}{256},
e
\frac{2}{3k_{n}^{4}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{256}{(2n+1)^{4}\pi^{4}} =\frac{512}{3(2n+1)^{4}\pi^{4}}.
Portanto
B_{n}=\frac{512(-1)^{n}}{3(2n+1)^{4}\pi^{4}}.

Passo 8

Escrever a solução final juntando tudo. Lembrando que A_{n}=0, obtemos
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}B_{n}\sin(3k_{n}t)\cos(k_{n}x),
com k_{n}=\dfrac{(2n+1)\pi}{4} e B_{n} dado acima. Substituindo B_{n} explicitamente:
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{512(-1)^{n}}{3(2n+1)^{4}\pi^{4}} \sin\!\left(\frac{3(2n+1)\pi}{4}t\right) \cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{4}x\right).
Esta série fornece a solução que satisfaz a PDE, as condições de contorno e as condições iniciais. Cada passo foi baseado em propriedades de separação de variáveis, resolução do problema de autovalores com condições mistas (Neumann em x=0 e Dirichlet em x=2), ortogonalidade dos modos e expansão da condição inicial u_{t}(x,0) na base formada por esses modos.

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{512(-1)^{n}}{3(2n+1)^{4}\pi^{4}} \sin\!\left(\frac{3(2n+1)\pi}{4}t\right) \cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{4}x\right).

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