Encontre a área do parabolóide z=9-x^2-y^2 que está acima do plano xy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área do parabolóide dado por z = 9 - x^2 - y^2 que está acima do plano xy . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área de uma superfície definida por uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região onde o parabolóide está acima do plano xy . Isso significa que z >= 0 . Então, temos:
9 - x^2 - y^2 >= 0 implies x^2 + y^2 <= 9
Isso descreve um círculo de raio 3 no plano xy .

Passo 3

Agora, para encontrar a área da superfície do parabolóide sobre essa região, usamos a fórmula da área de superfícies:
A = integral duplaD raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dx , dy
Aqui, D é a região x^2 + y^2 <= 9 .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y :
partial zpartial x = -2x e partial zpartial y = -2y
Substituindo na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz1 + (-2x)^2 + (-2y)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta . Nessa mudança, a expressão x^2 + y^2 vira r^2 e o elemento de área dx , dy vira r , dr , dtheta .
Então, a integral fica:
A = integral0^2pi integral0^3 raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral em relação a r :
integral0^3 r raiz1 + 4r^2 , dr
Fazemos uma substituição: u = 1 + 4r^2 , então du = 8r , dr ou du8 = r , dr .
A integral fica:
18 integralu=1^u=1+4(3)^2 raizu , du = 18 integral1^37 u^1/2 , du = 18 [ 23 u^3/2 ]1^37
Calculando:
18 cdot 23 (37^3/2 - 1^3/2) = 112 (37raiz37 - 1)

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta de 0 a 2pi :
A = integral0^2pi 112 (37raiz37 - 1) , dtheta = 112 (37raiz37 - 1) cdot 2pi
Simplificando:
A = pi6 (37raiz37 - 1)

Resposta

A área do parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 acima do plano xy é:
A = pi6 (37raiz37 - 1)

Exercícios relacionados