Encontre a área do parabolóide
que está acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área do parabolóide dado por
que está acima do plano
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a área de uma superfície definida por uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região onde o parabolóide está acima do plano
. Isso significa que
. Então, temos:
Isso descreve um círculo de raio 3 no plano
.
Passo 3
Agora, para encontrar a área da superfície do parabolóide sobre essa região, usamos a fórmula da área de superfícies:
Aqui,
é a região
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nessa mudança, a expressão
vira
e o elemento de área
vira
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral em relação a
:
Fazemos uma substituição:
, então
ou
.
A integral fica:
Calculando:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
de 0 a
:
Simplificando:
Resposta
A área do parabolóide
acima do plano
é: