Encontre a área da região cortada do plano x+2y+2z=5 pelo cilindro cujas paredes são x=y^2 e x=2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região onde um plano, dado por x + 2y + 2z = 5 , corta um cilindro cujas paredes são definidas pelas equações x = y^2 e x = 2 - y^2 . Isso envolve conhecimentos de geometria espacial e cálculo de áreas em superfícies curvas. Para resolver, vamos precisar usar integração e entender como estabelecer os limites de integração com base nas equações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que definem as paredes do cilindro. Temos duas equações:
  1. x = y^2 – isso representa uma parábola que abre para a direita no plano XY.
  2. x = 2 - y^2 – esta é outra parábola que abre para a esquerda no plano XY.
O cilindro é formado pela região entre essas duas parábolas ao longo do eixo Z.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde as duas parábolas se encontram para determinar os limites de y. Igualando y^2 = 2 - y^2 :
y^2 + y^2 = 2 2y^2 = 2 y^2 = 1 y = pm1
Então, y varia de -1 a 1.

Passo 4

Para cada valor de y entre -1 e 1, x varia de y^2 até 2 - y^2 . Isso nos dá os limites de integração para x, dependendo de y.

Passo 5

Agora, vamos expressar z em termos de x e y usando a equação do plano x + 2y + 2z = 5 . Resolvendo para z:
2z = 5 - x - 2y z = 5 - x - 2y2
Isso nos dá a altura z do plano sobre cada ponto (x, y) na região do cilindro.

Passo 6

Para encontrar a área da superfície do plano dentro do cilindro, usamos a fórmula da integral dupla para área de superfícies:
Área = integral duplaD raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy Á
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.

Passo 7

Calculando as derivadas:
partial zpartial x = -12 partial zpartial y = -22 = -1
Então, a expressão dentro da raiz fica:
raiz(-12)^2 + (-1)^2 + 1 = raiz14 + 1 + 1 = raiz94 = 32
Isso simplifica a integral para:
Área = 32 integral duplaD dx , dy Á

Passo 8

A integral integral duplaD dx , dy representa a área da projeção da região D no plano XY. Já estabelecemos que y varia de -1 a 1 e, para cada y, x varia de y^2 a 2 - y^2 . Então, podemos escrever a integral como:
integral-1^1 integraly^2^2 - y^2 dx , dy

Passo 9

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integraly^2^2 - y^2 dx = (2 - y^2) - (y^2) = 2 - 2y^2
Então, a integral dupla fica:
integral-1^1 (2 - 2y^2) dy

Passo 10

Calculando a integral restante:
integral-1^1 2 , dy - integral-1^1 2y^2 , dy = 2 [ y ]-1^1 - 2 [ y^33 ]-1^1 = 2(1 - (-1)) - 2(13 - (-13)) = 4 - 43 = 83

Passo 11

Agora, multiplicamos o resultado da integral pela constante que tínhamos antes:
Área = 32 times 83 = 4 Á

Resposta

A área da região cortada é igual a 4 unidades quadradas.

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