Encontre a área da região cortada do plano
pelo cilindro cujas paredes são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região onde um plano, dado por
, corta um cilindro cujas paredes são definidas pelas equações
e
. Isso envolve conhecimentos de geometria espacial e cálculo de áreas em superfícies curvas. Para resolver, vamos precisar usar integração e entender como estabelecer os limites de integração com base nas equações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas que definem as paredes do cilindro. Temos duas equações:
-
– isso representa uma parábola que abre para a direita no plano XY. -
– esta é outra parábola que abre para a esquerda no plano XY.
O cilindro é formado pela região entre essas duas parábolas ao longo do eixo Z.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde as duas parábolas se encontram para determinar os limites de y. Igualando
:
Então, y varia de -1 a 1.
Passo 4
Para cada valor de y entre -1 e 1, x varia de
até
. Isso nos dá os limites de integração para x, dependendo de y.
Passo 5
Agora, vamos expressar z em termos de x e y usando a equação do plano
. Resolvendo para z:
Isso nos dá a altura z do plano sobre cada ponto (x, y) na região do cilindro.
Passo 6
Para encontrar a área da superfície do plano dentro do cilindro, usamos a fórmula da integral dupla para área de superfícies:
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Isso simplifica a integral para:
Passo 8
A integral
representa a área da projeção da região D no plano XY. Já estabelecemos que y varia de -1 a 1 e, para cada y, x varia de
a
. Então, podemos escrever a integral como:
Passo 9
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Então, a integral dupla fica:
Passo 10
Calculando a integral restante:
Passo 11
Agora, multiplicamos o resultado da integral pela constante que tínhamos antes:
Resposta
A área da região cortada é igual a
unidades quadradas.