Use o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo exterior de F=2 x z i-x y j-z^2 k através da região D, sendo a cunha cortada do primeiro octante pelo plano y+z=4 e pelo cilindro elíptico 4 x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo exterior do campo vetorial F = 2xz,i - xy,j - z^2,k através da região D. Essa região D é uma espécie de “cunha” no primeiro octante, delimitada pelo plano y + z = 4 e pelo cilindro elíptico 4x^2 + y^2 = 16.
Matéria envolvida: Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), cálculo de integrais múltiplas, e entendimento de regiões espaciais delimitadas por superfícies.
O que vamos precisar:
  1. Entender e calcular a divergência do campo vetorial F.
  2. Determinar os limites de integração para a região D.
  3. Configurar e calcular a integral tripla da divergência sobre D para encontrar o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo exterior de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S que delimita uma região D é igual à integral tripla da divergência de F sobre toda a região D. Em fórmula:
integral duplaS F cdot n, dS = integral triplaD nabla cdot F, dV
Ou seja, em vez de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência e integrá-la sobre o volume, o que geralmente é mais fácil.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = P,i + Q,j + R,k é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Aplicando isso ao nosso campo:
  • P = 2xz então partial Ppartial x = 2z
  • Q = -xy então partial Qpartial y = -x
  • R = -z^2 então partial Rpartial z = -2z
Portanto:
nabla cdot F = 2z - x - 2z = -x

Passo 4

Agora que temos a divergência, precisamos configurar a integral tripla sobre a região D. Vamos entender melhor a região D:
  • Primeiro octante: Onde x >= 0, y >= 0, z >= 0.
  • Plano y + z = 4: Vamos isolar z: z = 4 - y.
  • Cilindro elíptico 4x^2 + y^2 = 16: Podemos simplificar para x^2/4 + y^2/16 = 1, que é um elipse no plano xy.
Vamos encontrar os limites de integração:
  1. Para x: A elipse 4x^2 + y^2 = 16 pode ser reescrita como x^2 = 16 - y^24, então x varia de 0 a raiz16 - y^24 = raiz16 - y^22.
  2. Para y: Como 4x^2 + y^2 <= 16, y varia de 0 a 4.
  3. Para z: Do plano y + z = 4, isolando z, temos z = 4 - y, então z varia de 0 a 4 - y.

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla da divergência -x sobre a região D com os limites que definimos:
integral triplaD (-x), dV = integraly=0^4 integralx=0^raiz16 - y^22 integralz=0^4 - y (-x), dz, dx, dy
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a z:
integralz=0^4 - y (-x), dz = (-x) cdot z g|0^4 - y = -x(4 - y) - (-x)(0) = -x(4 - y)
Agora, a integral se reduz a:
integraly=0^4 integralx=0^raiz16 - y^22 -x(4 - y), dx, dy

Passo 7

Integramos agora em relação a x:
integralx=0^raiz16 - y^22 -x(4 - y), dx = -(4 - y) integral0^raiz16 - y^22 x, dx
A integral de x é:
integral x, dx = x^22
Portanto:
-(4 - y) [ x^22 ]0^raiz16 - y^22 = -(4 - y) ( ( raiz16 - y^22 )^22 - 0 ) = -(4 - y) ( 16 - y^28 )
Simplificando:
- (4 - y) cdot 16 - y^28 = - (4 - y)(16 - y^2)8

Passo 8

Agora, integramos em relação a y:
integraly=0^4 - (4 - y)(16 - y^2)8, dy = -18 integral0^4 (4 - y)(16 - y^2), dy
Primeiro, expandimos o integrando:
(4 - y)(16 - y^2) = 4 cdot 16 - 4y^2 - y cdot 16 + y^3 = 64 - 4y^2 - 16y + y^3
Portanto, a integral fica:
- 18 integral0^4 (64 - 16y - 4y^2 + y^3), dy

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
integral0^4 64, dy = 64y g|0^4 = 64 cdot 4 = 256
integral0^4 -16y, dy = -16 cdot y^22 g|0^4 = -8y^2 g|0^4 = -8 cdot 16 = -128
integral0^4 -4y^2, dy = -4 cdot y^33 g|0^4 = -43 y^3 g|0^4 = -43 cdot 64 = -2563
integral0^4 y^3, dy = y^44 g|0^4 = 2564 = 64
Somando tudo:
256 - 128 - 2563 + 64 = (256 - 128 + 64) - 2563 = 192 - 2563 = 576 - 2563 = 3203
Multiplicando pelo fator:
- 18 cdot 3203 = -32024 = -403

Resposta

O fluxo exterior do campo vetorial F através da região D é -dfrac403.

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