Use o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo exterior de através da região , sendo a cunha cortada do primeiro octante pelo plano e pelo cilindro elíptico .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você está pedindo é para usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo exterior do campo vetorial através da região . Essa região é uma espécie de “cunha” no primeiro octante, delimitada pelo plano e pelo cilindro elíptico .
Matéria envolvida: Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), cálculo de integrais múltiplas, e entendimento de regiões espaciais delimitadas por superfícies.
O que vamos precisar:
Entender e calcular a divergência do campo vetorial .
Determinar os limites de integração para a região .
Configurar e calcular a integral tripla da divergência sobre para encontrar o fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo exterior de um campo vetorial através de uma superfície fechada que delimita uma região é igual à integral tripla da divergência de sobre toda a região . Em fórmula:
Ou seja, em vez de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência e integrá-la sobre o volume, o que geralmente é mais fácil.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
então
então
então
Portanto:
Passo 4
Agora que temos a divergência, precisamos configurar a integral tripla sobre a região . Vamos entender melhor a região :
Primeiro octante: Onde , , .
Plano : Vamos isolar : .
Cilindro elíptico : Podemos simplificar para , que é um elipse no plano .
Vamos encontrar os limites de integração:
Para : A elipse pode ser reescrita como , então varia de a .
Para : Como , varia de a .
Para : Do plano , isolando , temos , então varia de a .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla da divergência sobre a região com os limites que definimos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral se reduz a:
integraly=0^4 integralx=0^raiz16 - y^22 -x(4 - y), dx, dy