Encontre uma parametrização da superfície.
7. Faixa esférica A porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 entre os planos z=\sqrt{3} / 2 e z=-\sqrt{3} / 2.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da faixa esférica definida pela porção da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3
cujo z varia entre
z=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad\text{e}\quad z=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
O conteúdo usado será coordenadas esféricas para superfícies, onde fixamos o raio e determinamos os limites adequados dos ângulos.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
r=\sqrt{3}, \quad \theta\in[0,2\pi], \quad \varphi\in[0,\pi],
com a relação
z=r\cos\varphi=\sqrt{3}\,\cos\varphi.
Para que \sqrt{3}\cos\varphi varie entre \sqrt{3}/2 e -\sqrt{3}/2, precisamos de
\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\tfrac12 \quad\Rightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{3},
e
\cos\varphi=-\tfrac12 \quad\Rightarrow\quad \varphi=\frac{2\pi}{3}.
Logo \varphi\in[\pi/3,\,2\pi/3].

Passo 3

A parametrização em termos de (\theta,\varphi) fica
\mathbf{r}(\theta,\varphi) =\bigl(x(\theta,\varphi),\,y(\theta,\varphi),\,z(\theta,\varphi)\bigr) =\bigl(\sqrt{3}\,\sin\varphi\cos\theta,\;\sqrt{3}\,\sin\varphi\sin\theta,\;\sqrt{3}\,\cos\varphi\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in[\pi/3,\,2\pi/3].

Resposta

\boxed{ \mathbf{r}(\theta,\varphi) =\bigl(\sqrt{3}\,\sin\varphi\cos\theta,\;\sqrt{3}\,\sin\varphi\sin\theta,\;\sqrt{3}\,\cos\varphi\bigr), \quad 0\le\theta\le2\pi,\; \frac{\pi}{3}\le\varphi\le\frac{2\pi}{3}. }

Exercícios relacionados