Encontre a área da região delimitada pela curva com a parametrização gamma(t)=(sin t cos t, sin t), 0 <= t <= pi. (Resp.: 2/3.)

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pela curva parametrizada por
gamma(t) = (sin tcos t,;sin t), com 0 <= t <= pi. Vamos usar a fórmula de área para curvas fechadas em coordenadas paramétricas, que é
A = 12 integralC l(x,dy - y,dxr),
onde substituímos x = x(t), y = y(t), dx = x'(t),dt, dy = y'(t),dt.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x(t) = sin tcos t, x'(t) = cos^2 t - sin^2 t = cos(2t),
y(t) = sin t, y'(t) = cos t

Passo 3

Montamos o integrando x,y' - y,x':
x(t),y'(t) - y(t),x'(t) = (sin tcos t)(cos t) ;-; (sin t)(cos(2t)) = sin tcos^2 t - sin tcos(2t)

Passo 4

Agora simplificamos esse integrando. Usando cos^2 t = tfrac1+cos(2t)2, temos
sin tcos^2 t = 12,sin t + 12,sin tcos(2t),
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sin tcos^2 t - sin tcos(2t) = 12,sin t + 12,sin tcos(2t) - sin tcos(2t) = 12,sin t - 12,sin tcos(2t)
E como 1 - cos(2t) = 2sin^2 t, concluímos
x,y' - y,x' = 12,sin t,(1-cos(2t)) = sin^3 t

Passo 5

Substituímos no integral de área:
A = 12 integral0^pi sin^3 t;dt
Sabemos que
integral0^pi sin^3 t;dt = 43

Passo 6

Portanto
A = 12 times 43 = 23

Resposta

A área da região é 23.

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