Encontre a transformada de Laplace inversa das funções.
F(s)=2 s-3s^2(s^2-4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=2s-3s^2(s^2-4)
O conteúdo principal que vamos usar é a decomposição em frações parciais de funções racionais em s e, em seguida, a aplicação das fórmulas básicas
L^-1ltfrac1sr=1,
L^-1ltfrac1s^2r=t e
L^-1ltfrac1s-ar=e^at.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais
2s-3s^2(s^2-4) =As+Bs^2+Cs-2+Ds+2
Multiplicando ambos os lados por s^2(s-2)(s+2) obtemos a identidade
2s-3 =A,s,(s-2)(s+2) +B,(s-2)(s+2) +C,s^2(s+2) +D,s^2(s-2)

Passo 3

Para achar B, use s=0:
-3=B,(0-2)(0+2)=-4B Longrightarrow B=34
Para achar C, use s=2:
2cdot2-3=1=Ccdot2^2(2+2)=16C Longrightarrow C=116
Para achar D, use s=-2:
2cdot(-2)-3=-7=Dcdot(-2)^2(-2-2)=-16D Longrightarrow D=716

Passo 4

Para achar A, podemos escolher um valor qualquer de s que não anule os fatores anteriores, por exemplo s=1. Substituindo na identidade:
2cdot1-3=-1 =-3A-3B+3C -D =-3A -3cdot34 +3cdot116 -716
Calculando os termos numéricos:
-1=-3A -94+316-716 =-3A -104 =-3A -52 Longrightarrow A=-12

Passo 5

Agora escrevemos a decomposição completa e aplicamos a transformada inversa termo a termo:
F(s) =-tfrac12cdot1s +tfrac34cdot1s^2 +tfrac116cdot1s-2 +tfrac716cdot1s+2
Assim,
f(t) =L^-1F(s) =-tfrac12cdot1 +tfrac34cdot t +tfrac116,e^2t +tfrac716,e^-2t

Resposta

f(t) =-12+34,t+116,e^2t+716,e^-2t

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