S-4.14 Mostre que a equação
não admite soluções inteiras.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diofantina
não tem solução em inteiros.
O conteúdo aqui é o uso de congruências e resíduos quadráticos módulo 13 para obter uma contradição.
O conteúdo aqui é o uso de congruências e resíduos quadráticos módulo 13 para obter uma contradição.
Passo 2
Se existir solução inteira
, então da equação
seguimos que, em
,
Como
, temos
Passo 3
Agora listamos os possíveis resíduos quadráticos de um inteiro modulo 13. Basta calcular
para
:
Portanto
Passo 4
Observamos que
não está entre os resíduos quadráticos modulo 13. Mas exigimos
. Isso é impossível para todo inteiro
. Logo não há nenhum par
satisfazendo a equação original.
Resposta
Não existem soluções inteiras para a equação
.