S-4.14 Mostre que a equação x^2-13 y^2=275 não admite soluções inteiras.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diofantina
x^2 - 13,y^2 = 275
não tem solução em inteiros.
O conteúdo aqui é o uso de congruências e resíduos quadráticos módulo 13 para obter uma contradição.

Passo 2

Se existir solução inteira (x,y), então da equação
x^2 = 13,y^2 + 275
seguimos que, em bmod 13,
x^2 equiv 275 pmod13
Como 275 = 13 cdot 21 + 2, temos
x^2 equiv 2 pmod13

Passo 3

Agora listamos os possíveis resíduos quadráticos de um inteiro modulo 13. Basta calcular k^2bmod13 para k=0,1,dots,6:
0^2!equiv0,; 1^2!equiv1,; 2^2!equiv4,; 3^2!equiv9,; 4^2!equiv3,; 5^2!equiv12,; 6^2!equiv10 pmod13
Portanto
k^2bmod13 : kin Z = 0,1,3,4,9,10,12

Passo 4

Observamos que 2 não está entre os resíduos quadráticos modulo 13. Mas exigimos x^2equiv2pmod13. Isso é impossível para todo inteiro x. Logo não há nenhum par (x,y)in Z^2 satisfazendo a equação original.

Resposta

Não existem soluções inteiras para a equação x^2 - 13,y^2 = 275.

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