Uma luz está no topo de um poste de 5 m de altura. Um homem de 2 m de altura caminha para longe do poste com uma velocidade de 10 m / s ao longo de um caminho reto. Com que velocidade a ponta de sua sombra se move quando ele está a 40 m do poste?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma luz no topo de um poste de 5 metros de altura e um homem de 2 metros que está andando para longe do poste a 10 metros por segundo. Queremos descobrir com que velocidade a ponta da sombra dele está se movendo quando ele está a 40 metros do poste. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática envolvendo proporções e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação para visualizar melhor. Imagine um poste de 5 metros de altura com uma luz no topo. Um homem de 2 metros está a uma certa distância $ x $ do poste, andando para longe a uma velocidade de $ \frac{dx}{dt} = 10 , m/s $. A sombra dele se estende até a ponta da sombra. Vamos chamar a distância total da base do poste até a ponta da sombra de $ y $.

Passo 3

Observando o triângulo formado pela luz, o homem e a ponta da sombra, podemos ver que temos dois triângulos semelhantes: um formado pelo poste e a sombra, e outro formado pelo homem e sua sombra. Como os triângulos são semelhantes, as proporções dos lados correspondentes são iguais. Então, temos:
5y = 2y - x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa proporção para encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $:
y
x
5(y - x) = 2y
5y - 5x = 2y
5y - 2y = 5x

Passo 5

Queremos encontrar a velocidade da ponta da sombra, que é $ \frac{dy}{dt} $. Sabemos que $ y = \frac{5}{3}x $, então vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
dydt

Passo 6

Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = 10 , m/s $, então substituímos na equação:
dxdt = 10 , m/s

Resposta

A ponta da sombra do homem está se movendo a uma velocidade de $ \frac{50}{3} , m/s $ quando ele está a 40 metros do poste.

Exercícios relacionados