Uma luz está no topo de um poste de
de altura. Um homem de
de altura caminha para longe do poste com uma velocidade de
ao longo de um caminho reto. Com que velocidade a ponta de sua sombra se move quando ele está a
do poste?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma luz no topo de um poste de 5 metros de altura e um homem de 2 metros que está andando para longe do poste a 10 metros por segundo. Queremos descobrir com que velocidade a ponta da sombra dele está se movendo quando ele está a 40 metros do poste. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática envolvendo proporções e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a situação para visualizar melhor. Imagine um poste de 5 metros de altura com uma luz no topo. Um homem de 2 metros está a uma certa distância $ x $ do poste, andando para longe a uma velocidade de $ \frac{dx}{dt} = 10 , m/s $. A sombra dele se estende até a ponta da sombra. Vamos chamar a distância total da base do poste até a ponta da sombra de $ y $.
Passo 3
Observando o triângulo formado pela luz, o homem e a ponta da sombra, podemos ver que temos dois triângulos semelhantes: um formado pelo poste e a sombra, e outro formado pelo homem e sua sombra. Como os triângulos são semelhantes, as proporções dos lados correspondentes são iguais. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa proporção para encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $:
Passo 5
Queremos encontrar a velocidade da ponta da sombra, que é $ \frac{dy}{dt} $. Sabemos que $ y = \frac{5}{3}x $, então vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Passo 6
Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = 10 , m/s $, então substituímos na equação:
Resposta
A ponta da sombra do homem está se movendo a uma velocidade de $ \frac{50}{3} , m/s $ quando ele está a 40 metros do poste.