Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.
f(x)=cos 2 x, g(x)=sen x ;(a, b)=(0, 12 pi)

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
f(x)=cos2x, g(x)=sen x
no intervalo l[0,tfracpi2r].
O conteúdo aqui é o “cálculo de área entre duas curvas”: primeiro achamos os pontos de interseção, depois determinamos qual função está por cima em cada subintervalo e finalmente fazemos integrais da diferença entre as duas.

Passo 2

Para encontrar os pontos onde cos2x=sen x em l[0,tfracpi2r], escrevemos
cos2x = 1 - 2sen^2x Longrightarrow 1 - 2sen^2x = sen x
ou seja
2sen^2x + sen x -1 = 0
Resolvendo a quadrática em sen x:
sen x = -1pmraiz1+84 = -1pm34
Em [0,tfracpi2] vale apenas sen x=tfrac12, isto é
x=pi6

Passo 3

Verificamos quem está acima de quem em cada parte:
  • Em : e , logo em volta de .
  • Em : e , logo perto de .
    Portanto vamos dividir em dois integrais:

Passo 4

Calculamos
Avalia em e :

Passo 5

Agora
Avalia de a :

Passo 6

Somando as duas parcelas dá a área total:
l(tfrac3raiz34-1r)+3raiz34 =3raiz32-1

Resposta

A área da região é 3raiz32-1.

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