Se
, onde
e
mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
, onde
e
são expressos em termos de outras variáveis
e
. Nosso objetivo é mostrar uma relação específica entre as derivadas parciais de
em relação a
e
e as derivadas em relação a
e
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
depende de
e
. Sabemos que
e
, então
pode ser visto como uma função composta:
. Para encontrar
e
, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 3
Vamos calcular
usando a regra da cadeia:
Sabemos que
e
. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Então,
Passo 5
Agora, queremos expressar
em termos de
e
. Sabemos que:
Passo 6
Vamos agora elevar ao quadrado e somar as duas equações:
Expandindo os termos:
Observamos que os termos cruzados se cancelam:
Passo 7
Sabemos que
. Então,
Passo 8
Comparando com o que queremos mostrar:
Podemos reescrever a equação que obtivemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Assim, mostramos que: