Se u=f(x, y), onde x=e^s cos (t) e y=e^s sen(t) mostre que
(partial upartial x)^2+(partial upartial y)^2=e^-2 s[(partial upartial s)^2+(partial upartial t)^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função u = f(x, y) , onde x e y são expressos em termos de outras variáveis s e t . Nosso objetivo é mostrar uma relação específica entre as derivadas parciais de u em relação a x e y e as derivadas em relação a s e t . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como u depende de s e t . Sabemos que x = e^s cos(t) e y = e^s sin(t) , então u pode ser visto como uma função composta: u = f(x(s, t), y(s, t)) . Para encontrar partial upartial s e partial upartial t , vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 3

Vamos calcular partial upartial s usando a regra da cadeia:
partial upartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s
Sabemos que partial xpartial s = e^s cos(t) = x e partial ypartial s = e^s sin(t) = y . Então,
partial upartial s = partial fpartial x cdot x + partial fpartial y cdot y

Passo 4

Agora, vamos calcular partial upartial t :
partial upartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t
Calculando as derivadas de x e y em relação a t :
partial xpartial t = -e^s sin(t) = -y e partial ypartial t = e^s cos(t) = x
Então,
partial upartial t = partial fpartial x cdot (-y) + partial fpartial y cdot x = -y partial fpartial x + x partial fpartial y

Passo 5

Agora, queremos expressar (partial upartial x)^2 + (partial upartial y)^2 em termos de partial upartial s e partial upartial t . Sabemos que:
partial upartial s = x partial upartial x + y partial upartial y
partial upartial t = -y partial upartial x + x partial upartial y

Passo 6

Vamos agora elevar ao quadrado e somar as duas equações:
(partial upartial s)^2 + (partial upartial t)^2 = (x partial upartial x + y partial upartial y)^2 + (-y partial upartial x + x partial upartial y)^2
Expandindo os termos:
= x^2 (partial upartial x)^2 + 2xy partial upartial x partial upartial y + y^2 (partial upartial y)^2 + y^2 (partial upartial x)^2 - 2xy partial upartial x partial upartial y + x^2 (partial upartial y)^2
Observamos que os termos cruzados se cancelam:
= (x^2 + y^2) (partial upartial x)^2 + (x^2 + y^2) (partial upartial y)^2

Passo 7

Sabemos que x^2 + y^2 = e^2s cos^2(t) + e^2s sin^2(t) = e^2s (cos^2(t) + sin^2(t)) = e^2s . Então,
= e^2s [ (partial upartial x)^2 + (partial upartial y)^2 ]

Passo 8

Comparando com o que queremos mostrar:
(partial upartial x)^2 + (partial upartial y)^2 = e^-2s [ (partial upartial s)^2 + (partial upartial t)^2 ]
Podemos reescrever a equação que obtivemos:
(partial upartial s)^2 + (partial upartial t)^2 = e^2s [ (partial upartial x)^2 + (partial upartial y)^2 ]
Multiplicando ambos os lados por e^-2s :
e^-2s [ (partial upartial s)^2 + (partial upartial t)^2 ] = (partial upartial x)^2 + (partial upartial y)^2

Resposta

Assim, mostramos que:
(partial upartial x)^2 + (partial upartial y)^2 = e^-2s [ (partial upartial s)^2 + (partial upartial t)^2 ]

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