Encontre a área da região delimitada pelos gráficos de f(x)=x^2+2 e g(x)=2 x+5.

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum aos gráficos de f(x)=x^2+2 (uma parábola) e g(x)=2x+5 (uma reta). O conteúdo é “área entre curvas” e vamos precisar achar os pontos de interseção e depois calcular a integral definida da diferença entre a curva superior e a inferior.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos as funções em ,f(x)=g(x):
x^2+2 = 2x+5
x^2-2x-3 = 0
(x-3)(x+1)=0
Logo, as abscissas de interseção são x=-1 e x=3.

Passo 3

Precisamos saber qual função fica por cima em [-1,3]. Tomando x=0, temos f(0)=2 e g(0)=5. Como g(0)>f(0), concluímos que, para todo x entre -1 e 3,
reta g está acima da parábola f.

Passo 4

A área A entre as curvas é dada por
A = integral-1^3 l(g(x)-f(x)r),dx
Substituindo g(x)=2x+5 e f(x)=x^2+2, fica
A = integral-1^3 l((2x+5)-(x^2+2)r),dx = integral-1^3 l(-x^2+2x+3r),dx

Passo 5

Calculemos a antiderivada de -x^2+2x+3:
integrall(-x^2+2x+3r),dx = -tfrac13x^3 + x^2 + 3x
Avaliar de -1 a 3:
em x=3:
-tfrac13cdot 3^3 + 3^2 + 3cdot3 = -9 + 9 + 9 = 9,
em x=-1:
-tfrac13cdot(-1)^3 + (-1)^2 + 3cdot(-1) = tfrac13 + 1 - 3 = -tfrac53
Logo,
A = 9 - l(-tfrac53r) = tfrac323

Resposta

A área da região é tfrac323.

Exercícios relacionados