Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para a série
encontrar os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
, obter uma fórmula geral para
em função de
, e decidir se a série converge ou diverge (e, se converge, dar sua soma). Vamos usar decomposição em frações parciais e telescópios.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
e igualando coeficientes em
, obtemos
,
,
e
. Portanto
Passo 3
A soma parcial fica
Como é telescópica, quase tudo se cancela, sobrando
Passo 4
Agora calculamos os quatro primeiros termos por essa fórmula:
Passo 5
Tomando o limite
em
,
vemos que . Logo a série é convergente e sua soma é
.
vemos que
Resposta
Fórmula geral:
A série converge e