Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 2 n+1n^2(n+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumn=1^+infty 2n+1n^2(n+1)^2
encontrar os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais sn, obter uma fórmula geral para sn em função de n, e decidir se a série converge ou diverge (e, se converge, dar sua soma). Vamos usar decomposição em frações parciais e telescópios.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
2n+1n^2(n+1)^2 = An + Bn^2 + Cn+1 + D(n+1)^2
Multiplicando por n^2(n+1)^2 e igualando coeficientes em n, obtemos
A=0, B=1, C=0 e D=-1. Portanto
2n+1n^2(n+1)^2 = 1n^2 - 1(n+1)^2

Passo 3

A soma parcial fica
sn = sumk=1^nl(1k^2 - 1(k+1)^2r)
Como é telescópica, quase tudo se cancela, sobrando
sn = 1 - 1(n+1)^2

Passo 4

Agora calculamos os quatro primeiros termos por essa fórmula:
s1 = 1 - 12^2 = 34, s2 = 1 - 13^2 = 89, s3 = 1 - 14^2 = 1516, s4 = 1 - 15^2 = 2425

Passo 5

Tomando o limite ntoinfty em
sn = 1 - 1(n+1)^2,
vemos que snto1. Logo a série é convergente e sua soma é 1.

Resposta

s1 = tfrac34, s2 = tfrac89, s3 = tfrac1516, s4 = tfrac2425
Fórmula geral:
sn = 1 - 1(n+1)^2
A série converge e
sumn=1^infty2n+1n^2(n+1)^2 = 1

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