Uma partícula se move ao longo do eixo x com velocidade v(t)=(6 t^2-t) m / s. Encontre a posiç̧̃o s(t) da partícula, supondo que s(2)=4 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo x com uma velocidade que depende do tempo, dada por v(t) = 6t^2 - t metros por segundo. A missão é descobrir onde essa partícula está em qualquer momento t , ou seja, encontrar a posição s(t) . Para isso, vamos trabalhar com cinemática, especificamente com integração para passar da velocidade para a posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a posição s(t) é a integral da velocidade v(t) em relação ao tempo. Então, vamos integrar a função v(t) = 6t^2 - t :
s(t) = integral v(t) , dt = integral (6t^2 - t) , dt

Passo 3

Vamos fazer a integral termo a termo:
integral 6t^2 , dt = 6 cdot t^33 = 2t^3
integral -t , dt = -t^22
Então, juntando tudo e adicionando a constante de integração C :
s(t) = 2t^3 - t^22 + C

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial que nos foi dada: s(2) = 4 metros. Vamos substituir t = 2 na equação para achar o valor de C :
4 = 2(2)^3 - (2)^22 + C
4 = 2 cdot 8 - 42 + C
4 = 16 - 2 + C
4 = 14 + C
Resolvendo para C :
C = 4 - 14 = -10

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:
s(t) = 2t^3 - t^22 - 10 , metros

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