Resolva as questões abaixo.
Considere a função z=f(x, y)=x^3 cdot y^4, onde x(t)=t^2-2 e y(t)=5 t-3, obtenha d z(1)d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função z = f(x, y) = x^3 cdot y^4 , onde x e y também são funções de t . Precisamos encontrar a derivada de z em relação a t no ponto t = 1 . Para isso, vamos usar o conceito de derivada composta e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
  • z = x^3 cdot y^4
  • x(t) = t^2 - 2e
  • y(t) = 5t - 3
Nossa meta é encontrar dzdt quando t = 1 .

Passo 3

Para encontrar dzdt , vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A derivada de z em relação a t é dada por:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y , além das derivadas de x e y em relação a t .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de z :
partial zpartial x = 3x^2 cdot y^4
partial zpartial y = 4x^3 cdot y^3
Agora, calculemos as derivadas de x e y em relação a t :
dxdt = ddt(t^2 - 2e) = 2t
dydt = ddt(5t - 3) = 5

Passo 5

Agora, vamos avaliar as funções x(t) e y(t) no ponto t = 1 :
x(1) = (1)^2 - 2e = 1 - 2e
y(1) = 5(1) - 3 = 5 - 3 = 2
E também as derivadas nesse ponto:
dxdtg|t=1 = 2(1) = 2
dydtg|t=1 = 5

Passo 6

Substituindo todos os valores na expressão da derivada:
dzdtg|t=1 = 3x^2 cdot y^4 cdot dxdt + 4x^3 cdot y^3 cdot dydt
dzdtg|t=1 = 3(1 - 2e)^2 cdot (2)^4 cdot 2 + 4(1 - 2e)^3 cdot (2)^3 cdot 5

Passo 7

Agora, vamos calcular cada parte:
Primeiro termo:
3(1 - 2e)^2 cdot 16 cdot 2 = 3(1 - 2e)^2 cdot 32
Segundo termo:
4(1 - 2e)^3 cdot 8 cdot 5 = 4(1 - 2e)^3 cdot 40

Passo 8

Simplificando:
3(1 - 2e)^2 cdot 32 = 96(1 - 2e)^2
4(1 - 2e)^3 cdot 40 = 160(1 - 2e)^3

Passo 9

Juntando tudo:
dzdtg|t=1 = 96(1 - 2e)^2 + 160(1 - 2e)^3

Resposta

Portanto, a derivada de z em relação a t quando t = 1 é:
dzdtg|t=1 = 96(1 - 2e)^2 + 160(1 - 2e)^3

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