Questão
(Valor:
pontos)
Considere a função
, faça o que se pede a seguir:
a) Estude a diferenciabilidade da extensão ímpar e 2L-periódica
.
b) Determine explicitamente a Série de Fourier da função
.
Considere a função
a) Estude a diferenciabilidade da extensão ímpar e 2L-periódica
b) Determine explicitamente a Série de Fourier da função
Passo 1
O enunciado dá a função em
e pede (a) o estudo de diferenciabilidade da extensão ímpar e
-periódica
em
e
, e (b) a Série de Fourier explícita dessa
. Vamos usar definição de extensão ímpar, continuidade e derivadas laterais, depois montar a série ímpar (apenas termos seno) com
Passo 2
Estudo em
. Pela extensão ímpar, para
vale
. Como
, temos continuidade em
. A derivada à direita é
logo
. A derivada à esquerda é
Portanto
e
é diferenciável em
.
Passo 3
Estudo em
. Para
usamos
. Para
, pela periodicidade
e pela imparidade chegamos a
Como
e as derivadas laterais coincidem,
é diferenciável em
.
Passo 4
Montagem da Série de Fourier. Como
é ímpar e
-periódica, só há termos de seno:
Passo 5
Cálculo dos integrais auxiliares com as fórmulas dadas:
Logo
Passo 6
Substituindo em
:
Fatorando e simplificando obtemos
Como
para
par e
para
ímpar, fica
Resposta
Portanto a Série de Fourier de
é