Questão 4- (Valor: 3+3=6 pontos)
Considere a função f(x)=-x^2+L x=-x(x-L), 0 <= x <= L, faça o que se pede a seguir:
a) Estude a diferenciabilidade da extensão ímpar e 2L-periódica f1 em x=0 e x=L.
b) Determine explicitamente a Série de Fourier da função f1(x).
integral x sen(n pi xL) d x=(Ln pi)^2[(-n pi xL) cos (n pi xL)+sen(n pi xL)] integral x^2 sen(n pi xL) d x=(Ln pi)^3[(-n pi xL)^2 cos (n pi xL)+2(n pi xL) sen(n pi xL)+2 cos (n pi xL)]

Passo 1

O enunciado dá a função em [0,L]
f(x) = -x^2 + L x
e pede (a) o estudo de diferenciabilidade da extensão ímpar e 2L-periódica f1 em x=0 e x=L, e (b) a Série de Fourier explícita dessa f1. Vamos usar definição de extensão ímpar, continuidade e derivadas laterais, depois montar a série ímpar (apenas termos seno) com
bn = 2Lintegral0^Lf(x),sin!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 2

Estudo em x=0. Pela extensão ímpar, para x<0 vale f1(x) = -f(-x). Como f(0)=0, temos continuidade em 0. A derivada à direita é
f1'(0^+) = f'(0) com f'(x) = -2x + L,
logo f1'(0^+)=L. A derivada à esquerda é
f1'(0^-) = ddxl[-f(-x)r]x=0 = f'(-0) = f'(0) = L
Portanto f1'(0^+)=f1'(0^-) e f1 é diferenciável em x=0.

Passo 3

Estudo em x=L. Para x=L^- usamos f'(L^-) = -2L + L = -L. Para x=L^+, pela periodicidade f1(L+h)=f1(h-L) e pela imparidade chegamos a
f1'(L^+) = f'(L^-) = -L
Como f1(L)=f(L)=0 e as derivadas laterais coincidem, f1 é diferenciável em x=L.

Passo 4

Montagem da Série de Fourier. Como f1 é ímpar e 2L-periódica, só há termos de seno:
f1(x) = sumn=1^infty bn ,sin!l(tfracnpi xLr), bn = 2Lintegral0^Ll(-x^2 + Lxr)sin!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 5

Cálculo dos integrais auxiliares com as fórmulas dadas:
I1 = integral0^L x,sin!l(tfracnpi xLr),dx = -L^2npi(-1)^n,
I2 = integral0^L x^2,sin!l(tfracnpi xLr),dx = L^3n^3pi^3l[(n^2pi^2+2)(-1)^n - 2r]
Logo
integral0^Ll(-x^2 + Lxr)sin!l(tfracnpi xLr),dx = -I2 + L,I1

Passo 6

Substituindo em bn:
bn = 2Ll[-tfracL^3n^3pi^3l((n^2pi^2+2)(-1)^n -2r) - tfracL^3npi(-1)^nr]
Fatorando e simplificando obtemos
bn = 4L^2n^3pi^3l[(-1)^n+1+1r]
Como (-1)^n+1+1=0 para n par e =2 para n ímpar, fica
b2k = 0, b2k-1 = 8L^2(2k-1)^3pi^3

Resposta

Portanto a Série de Fourier de f1 é
boxed f1(x) = sumk=1^infty 8L^2(2k-1)^3pi^3, sin!l(tfrac(2k-1)pi xLr)

Exercícios relacionados