Sejam a, b, c inteiros. Prove que:
Se a, b são relativamente primose e c mid(a+b), então mdc(a, c)=m d c(b, c)=1.

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Temos inteiros a,b,c com gcd(a,b)=1 e cmid(a+b). Vamos usar propriedades básicas de divisibilidade e máximo divisor comum (MDC), em particular que se um número divide dois inteiros, ele divide qualquer combinação linear deles.

Passo 2

Prova de gcd(a,c)=1: Seja d=gcd(a,c). Por definição, dmid a e dmid c. Como cmid(a+b), segue que dmid(a+b). Logo, d divide a diferença

Passo 3

(a+b)-a = b

Passo 4

e, portanto, dmid b. Assim, d é divisor comum de a e b, mas gcd(a,b)=1, o que implica d=pm1. Como consideramos divisores positivos, d=1 e então gcd(a,c)=1.

Passo 5

Prova de gcd(b,c)=1: Repetindo o mesmo raciocínio, seja d'=gcd(b,c). Então d'mid b e d'mid c. Como cmid(a+b), temos d'mid(a+b) e, subtraindo,

Passo 6

(a+b)-b = a

Passo 7

logo d'mid a. Então d' divide a e b, de onde d'=1 pelo fato de gcd(a,b)=1. Concluímos que gcd(b,c)=1.

Resposta

gcd(a,c)=gcd(b,c)=1

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