Sejam
inteiros. Prove que:
Se
são relativamente primose e
, então
.
Se
Passo 1
Enunciado e conteúdo: Temos inteiros
com
e
. Vamos usar propriedades básicas de divisibilidade e máximo divisor comum (MDC), em particular que se um número divide dois inteiros, ele divide qualquer combinação linear deles.
Passo 2
Prova de
: Seja
. Por definição,
e
. Como
, segue que
. Logo,
divide a diferença
Passo 3
Passo 4
e, portanto,
. Assim,
é divisor comum de
e
, mas
, o que implica
. Como consideramos divisores positivos,
e então
.
Passo 5
Prova de
: Repetindo o mesmo raciocínio, seja
. Então
e
. Como
, temos
e, subtraindo,
Passo 6
Passo 7
logo
. Então
divide
e
, de onde
pelo fato de
. Concluímos que
.