Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^{4}, y=0, x=0 e x=2 em torno do eixo y. Faça também um esboço da região que será rotacionada.

Passo 1

O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região limitada por y=x^{4}, y=0, x=0 e x=2 em torno do eixo y. O conteúdo é o método das cascas cilíndricas, que usa fatias verticais de espessura \mathrm{d}x, raio igual à abscissa x e altura dada pela diferença entre as curvas.

Passo 2

Esboço da região R no plano xy: a curva y=x^{4} cresce de (0,0) a (2,16), e R é a área sob essa curva, acima de y=0 e entre x=0 e x=2. Veja figura aproximada (à direita, sombreada):
 y
16 | *
 | *
 | *
 | *
 | *
 | *
 | *
 | *
 | *
 | *
 \(0+\)_*________________ x
\[02\]

Passo 3

Pelo método das cascas, cada fatia em x gera um cilindro de raio x, altura h(x)=x^{4}-0=x^{4} e espessura \mathrm{d}x. O volume de uma casca é
\mathrm{d}V=2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\;\mathrm{d}x =2\pi\,x\cdot x^{4}\,\mathrm{d}x =2\pi\,x^{5}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Integramos de x=0 até x=2:
V=\int_{0}^{2}2\pi\,x^{5}\,\mathrm{d}x =2\pi\int_{0}^{2}x^{5}\,\mathrm{d}x =2\pi\biggl[\frac{x^{6}}{6}\biggr]_{0}^{2} =2\pi\cdot\frac{2^{6}}{6} =2\pi\cdot\frac{64}{6} =\frac{128\pi}{6} =\frac{64\pi}{3}.

Resposta

V=\frac{64\pi}{3}.

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