Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas y=\frac{1}{x^{2}}, y=0, x=1 e x=2, em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por \;y=\frac{1}{x^{2}},\;y=0,\;x=1 e x=2.
O método das cascas cilíndricas soma volumes de cascas geradas por retas verticais de abscissa x, altura dada por y e espessura dx.

Passo 2

Em x fixa, a reta vertical gira e forma uma casca cilíndrica com:
– raio =\;x
– altura =\;y_{\rm sup}-y_{\rm inf}=\frac{1}{x^{2}}-0=\frac{1}{x^{2}}
– espessura =dx

Passo 3

A área lateral de cada casca é 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura}), logo o volume total é
V \;=\;\int_{1}^{2}2\pi\,x\cdot\frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Simplificando o integrando:
V = 2\pi\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx.
Como
\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx = [\ln(x)]_{1}^{2} = \ln(2)-\ln(1)=\ln(2),

Passo 5

fica
V = 2\pi\,\ln(2).

Resposta

2\pi\ln(2)

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