Encontre a área da região dentro de um laço da curva.
r=sen(2 theta) 4 pi3

Passo 1

O enunciado pede a área de um laço da curva em coordenadas polares
r = sin(2theta),4pi3
O conteúdo envolvido é a fórmula de área em coordenadas polares e o reconhecimento de que um “laço” corresponde a um intervalo de theta em que r>=0.

Passo 2

Identificamos o intervalo de um laço observando onde sin(2theta) muda de sinal. Como
sin(2theta)>=0 Long<=ftrightarrow 2thetain[0,pi]Long<=ftrightarrow thetainl[0,tfracpi2r],
um laço ocorre quando theta vai de 0 a tfracpi2.

Passo 3

A fórmula da área em polares é
A = 12integraltheta1^theta2r^2,dtheta
Aqui temos theta1=0 e theta2=tfracpi2, e
r^2 = l(4pi3r)^2 sin^2(2theta)

Passo 4

Substituindo em A, obtemos
A = 12 integral0^pi2 l(4pi3r)^2sin^2(2theta),dtheta = 12cdot16pi^29 integral0^pi2sin^2(2theta),dtheta = 8pi^29integral0^pi2sin^2(2theta),dtheta

Passo 5

Usamos a identidade de ângulo duplo para sin^2:
sin^2(2theta)=1-cos(4theta)2
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integral0^pi2sin^2(2theta),dtheta = integral0^pi21-cos(4theta)2,dtheta = 12l[theta - sin(4theta)4r]0^pi2 = 12cdotpi2 = pi4

Passo 6

Substituindo esse resultado em A, temos
A = 8pi^29cdotpi4 = 8pi^336 = 2pi^39

Resposta

A área de um laço da curva é 2pi^39.

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