Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r^2 theta=1

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce em coordenadas polares a curva dada pela equação
r^2,theta = 1
O conteúdo envolvido é “curvas em coordenadas polares”: precisamos isolar r em função de theta, estudar seu domínio e comportamento, e então plotar alguns pontos para conectar tudo num esboço.

Passo 2

Isolando r em função de theta:
r^2 = 1theta Longrightarrow r = 1raiztheta
Como theta aparece no denominador e sob raiz, exigimos theta>0 e tomamos r>=0. Logo o domínio da curva é theta>0.

Passo 3

Analisando limites para entender o formato da curva:
  • Quando thetato0^+, temos raizthetato0 e, portanto, r = 1raizthetato +infty A curva “parte” de raio muito grande, quase no infinito, bem próxima ao eixo polar.
  • Quando thetato +infty, então r = 1raizthetato 0, ou seja, a curva se aproxima do polo conforme gira indefinidamente.

Passo 4

Montamos uma tabela de pontos notáveis para guiar o esboço:
c|c|c theta & r = 1/raiztheta & (polar)hline 0,1 & 1/raiz0,1approx3,16 & (,rapprox3,16,;theta=0,1,) 0,5 & 1/raiz0,5approx1,414 & (,1,414,;0,5,) 1 & 1 & (1,,1) 2 & 1/raiz2approx0,707 & (0,707,;2) 4 & 1/2=0,5 & (0,5,;4) 9 & 1/3approx0,333 & (0,333,;9)

Passo 5

Esboçando:
  1. Marque o ponto (rapprox3,16,;theta=0,1) bem à direita perto do eixo polar.
  2. Em seguida, vá girando no sentido anti-horário, ligando (1,414,0,5), depois (1,1), (0,707,2), etc.
  3. Note que à medida que theta cresce, r diminui, fazendo a curva se enrolar em espiral em direção ao polo.
O resultado é uma espiral que começa “no infinito” para theta muito próximo de zero e vai enrolando cada vez mais perto da origem conforme theta aumenta.

Resposta

A curva é o espiral definido por
r = 1raiztheta, theta>0,
que parte de raio muito grande quando thetato0^+ e se aproxima do polo quando thetato+infty.

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