Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce em coordenadas polares a curva dada pela equação
O conteúdo envolvido é “curvas em coordenadas polares”: precisamos isolar
em função de
, estudar seu domínio e comportamento, e então plotar alguns pontos para conectar tudo num esboço.
Passo 2
Isolando
em função de
:
Como
aparece no denominador e sob raiz, exigimos
e tomamos
. Logo o domínio da curva é
.
Passo 3
Analisando limites para entender o formato da curva:
- Quando
, temos e, portanto, A curva “parte” de raio muito grande, quase no infinito, bem próxima ao eixo polar. - Quando
, então ou seja, a curva se aproxima do polo conforme gira indefinidamente.
Passo 4
Montamos uma tabela de pontos notáveis para guiar o esboço:
Passo 5
Esboçando:
- Marque o ponto
bem à direita perto do eixo polar. - Em seguida, vá girando no sentido anti-horário, ligando
, depois , , etc. - Note que à medida que
cresce, diminui, fazendo a curva se enrolar em espiral em direção ao polo.
O resultado é uma espiral que começa “no infinito” para
muito próximo de zero e vai enrolando cada vez mais perto da origem conforme
aumenta.
Resposta
A curva é o espiral definido por
que parte de raio muito grande quando
e se aproxima do polo quando
.