Encontre as equações paramétricas da reta r em cada caso.
Passa por \mathrm{A}=(0,2,-3) e tem como vetor diretor \vec{v}=(2,2,0)

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto A=(0,2,-3) e um vetor diretor \vec v=(2,2,0), e pede as equações paramétricas de uma reta em \mathbb{R}^3. O conteúdo usado aqui é a forma vetorial de uma reta:
\mathbf r(t)=\mathbf r_0+t\,\vec v,
onde \mathbf r_0 é o vetor posição de um ponto da reta e \vec v é seu vetor diretor.

Passo 2

Escolhemos como vetor posição inicial
\mathbf r_0 = \overrightarrow{OA} = (0,2,-3),
e sabemos que o vetor diretor é
\vec v = (2,2,0).
O parâmetro t varia em \mathbb{R}.

Passo 3

Para obter as equações paramétricas, escrevemos \mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t)) e somamos componente a componente:
x(t) = 0 + 2t = 2t,
y(t) = 2 + 2t,
z(t) = -3 + 0\cdot t = -3.

Resposta

\begin{cases} x(t) = 2t,\\\ y(t) = 2 + 2t,\\\ z(t) = -3 \end{cases} \quad t\in \mathbb{R}.

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