Encontre a área da região R interior à cardioide r=2+2 cos (theta) e exterior ao círculo r=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região R que está dentro da cardioide r = 2 + 2 cos(theta) e fora do círculo r = 3 . Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, que são ótimas para lidar com curvas como a cardioide e círculos. Vamos precisar saber como calcular áreas em coordenadas polares e também determinar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa integração.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a cardioide e o círculo se encontram. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
2 + 2 cos(theta) = 3
Vamos resolver isso para theta .

Passo 3

Subtraindo 2 de ambos os lados da equação:
2 cos(theta) = 1
Dividindo ambos os lados por 2:
cos(theta) = 12
Sabemos que cos(theta) = 12 quando theta = pi3 e theta = 5pi3 .

Passo 4

Então, os pontos de interseção ocorrem em theta = pi3 e theta = 5pi3 . Isso significa que a região onde a cardioide está dentro do círculo está entre esses ângulos. Agora, vamos visualizar isso: a cardioide se estende de r = 0 até r = 4 quando cos(theta) = 1 , e o círculo tem raio constante de 3.

Passo 5

Para encontrar a área da região R , precisamos calcular a diferença entre a área da cardioide e a área do círculo onde a cardioide está acima do círculo. A fórmula para a área em coordenadas polares entre dois ângulos theta1 e theta2 é:
A = 12 integraltheta1^theta2 ( rexterno^2 - rinterno^2 ) dtheta
No nosso caso, rexterno = 2 + 2 cos(theta) e rinterno = 3 , entre theta = pi3 e theta = 5pi3 .

Passo 6

Vamos montar a integral para a área:
A = 12 integralpi3^5pi3 ( (2 + 2 cos(theta))^2 - 3^2 ) dtheta
Primeiro, vamos expandir (2 + 2 cos(theta))^2 :
(2 + 2 cos(theta))^2 = 4 + 8 cos(theta) + 4 cos^2(theta)
Então, a expressão dentro da integral fica:
4 + 8 cos(theta) + 4 cos^2(theta) - 9 = -5 + 8 cos(theta) + 4 cos^2(theta)

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:
A = 12 integralpi3^5pi3 ( -5 + 8 cos(theta) + 4 cos^2(theta) ) dtheta
Vamos integrar termo a termo. Para isso, precisamos saber integrar cos(theta) e cos^2(theta) .

Passo 8

Sabemos que:
integral cos(theta) dtheta = sin(theta) + C
E para cos^2(theta) , usamos a identidade trigonométrica:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Então,
integral cos^2(theta) dtheta = integral 1 + cos(2theta)2 dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C

Passo 9

Aplicando essas integrais na nossa expressão:
A = 12 [ integral -5 dtheta + 8 integral cos(theta) dtheta + 4 integral cos^2(theta) dtheta ]pi3^5pi3
Calculando cada parte:
integral -5 dtheta = -5theta
8 integral cos(theta) dtheta = 8 sin(theta)
4 integral cos^2(theta) dtheta = 4 ( theta2 + sin(2theta)4 ) = 2theta + sin(2theta)
Então, substituindo:
A = 12 [ -5theta + 8 sin(theta) + 2theta + sin(2theta) ]pi3^5pi3 = 12 [ (-3theta + 8 sin(theta) + sin(2theta)) ]pi3^5pi3

Passo 10

Agora, vamos calcular isso nos limites de integração:
Primeiro, para theta = 5pi3 :
-3 cdot 5pi3 + 8 sin(5pi3) + sin(10pi3) = -5pi + 8 ( -raiz32 ) + sin(4pi3) = -5pi - 4raiz3 - raiz32 = -5pi - 9raiz32
Segundo, para theta = pi3 :
-3 cdot pi3 + 8 sin(pi3) + sin(2pi3) = -pi + 8 ( raiz32 ) + raiz32 = -pi + 4raiz3 + raiz32 = -pi + 9raiz32

Passo 11

Calculando a diferença entre os valores:
( -5pi - 9raiz32 ) - ( -pi + 9raiz32 ) = -5pi - 9raiz32 + pi - 9raiz32 = -4pi - 9raiz3
Agora, multiplicando por 12 :
A = 12 ( -4pi - 9raiz3 ) = -2pi - 9raiz32
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
A = 2pi + 9raiz32

Resposta

A área da região R é 2pi + dfrac9raiz32 unidades de área.

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