Encontre a área da região
interior à cardioide
e exterior ao círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região
que está dentro da cardioide
e fora do círculo
. Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, que são ótimas para lidar com curvas como a cardioide e círculos. Vamos precisar saber como calcular áreas em coordenadas polares e também determinar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa integração.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a cardioide e o círculo se encontram. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver isso para
.
Passo 3
Subtraindo 2 de ambos os lados da equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Sabemos que
quando
e
.
Passo 4
Então, os pontos de interseção ocorrem em
e
. Isso significa que a região onde a cardioide está dentro do círculo está entre esses ângulos. Agora, vamos visualizar isso: a cardioide se estende de
até
quando
, e o círculo tem raio constante de 3.
Passo 5
Para encontrar a área da região
, precisamos calcular a diferença entre a área da cardioide e a área do círculo onde a cardioide está acima do círculo. A fórmula para a área em coordenadas polares entre dois ângulos
e
é:
No nosso caso,
e
, entre
e
.
Passo 6
Vamos montar a integral para a área:
Primeiro, vamos expandir
:
Então, a expressão dentro da integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral:
Vamos integrar termo a termo. Para isso, precisamos saber integrar
e
.
Passo 8
Sabemos que:
E para
, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 9
Aplicando essas integrais na nossa expressão:
Calculando cada parte:
Então, substituindo:
Passo 10
Agora, vamos calcular isso nos limites de integração:
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Passo 11
Calculando a diferença entre os valores:
Agora, multiplicando por
:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.