Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas e esboce o gráfico.
y=e^x, x=0, x=1 e y=0;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = e^x, x = 0, x = 1 e y = 0. O conteúdo principal é cálculo de integrais definidas aplicadas à função exponencial, e vamos precisar conhecer a antiderivada de e^x.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, desenhe o eixo x e o eixo y. Trace a curva y = e^x, que parte de (0,1) e cresce exponencialmente até (1,e). Marque as retas verticais x = 0 e x = 1, e a reta horizontal y = 0 (eixo x). A região buscada fica entre a curva, essas retas verticais e o eixo x.

Passo 3

Para calcular a área, montamos a integral definida da função e^x de x = 0 até x = 1, pois a área sob a curva y = e^x até o eixo x é dada por ∫₀¹ e^x dx.
Calculamos a integral usando a antiderivada de e^x, que é ela mesma. Portanto, temos:
[ A = \int_{0}^{1} e^{x} , dx = \bigl[e{x}\bigr]_{0}{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

Resposta

A área da região é e - 1.

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