Suponha que uma função não negativa y=f(x) tenha uma derivada de primeira ordem contínua em [a, b]. Seja C a fronteíra da região no plano x y que é limitada abaixo pelo eixo x, acima pelo gráfico de f e dos lados pelas retas x=a e x=b. Mostre que
\int_{a}^{b} f(x) d x=-\oint_{C} y d x

Passo 1

O enunciado diz que f\colon[a,b]\to\mathbb{R} satisfaz f(x)\ge0 e f' é contínua em [a,b]. A curva C é a fronteira, orientada positivamente (counter‐clockwise), da região planar R limitada abaixo por y=0, acima por y=f(x) e verticalmente por x=a e x=b. Precisamos mostrar que
\int_{a}^{b}f(x)\,dx \;=\; -\oint_{C}y\,dx.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Green no plano ao campo vetorial (P,Q)=(y,0). O teorema afirma que, para C=\partial R positivamente orientada,
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Aqui P=y e Q=0.

Passo 3

Calculamos o integrando interno:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =0 - 1 = -1.
Logo
\oint_{C}y\,dx \;=\;\iint_{R}(-1)\,dA \;=\;- \iint_{R}1\,dA \;=\;- \bigl(\text{área de }R\bigr).á

Passo 4

A área da região R sob o gráfico de y=f(x) de x=a até x=b é justamente
\iint_{R}1\,dA \;=\;\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Portanto
\oint_{C}y\,dx = -\int_{a}^{b}f(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\oint_{C}y\,dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Resposta

\int_{a}^{b}f(x)\,dx \;=\; -\oint_{C}y\,dx.

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