Suponha que uma função não negativa
tenha uma derivada de primeira ordem contínua em
. Seja
a fronteíra da região no plano
que é limitada abaixo pelo eixo
, acima pelo gráfico de
e dos lados pelas retas
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
satisfaz
e
é contínua em
. A curva
é a fronteira, orientada positivamente (counter‐clockwise), da região planar
limitada abaixo por
, acima por
e verticalmente por
e
. Precisamos mostrar que
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Green no plano ao campo vetorial
. O teorema afirma que, para
positivamente orientada,
Aqui
e
.
Passo 3
Calculamos o integrando interno:
Logo
Passo 4
A área da região
sob o gráfico de
de
até
é justamente
Portanto