Esboce o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=-2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x) = -2\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
O conteúdo aqui é transformação de funções trigonométricas: precisamos obter amplitude, período e efeito do sinal negativo.

Passo 2

A amplitude de \cos multiplica-se por \lvert -2\rvert=2. Portanto o valor máximo e mínimo de f são +2 e -2. O sinal “ -” inverte o cosseno em relação ao eixo x, fazendo o gráfico começar em seu valor mínimo.

Passo 3

O período de \cos(kx) é \tfrac{2\pi}{k}. Aqui k=\tfrac12, logo
T = \frac{2\pi}{\tfrac12} = 4\pi.

Passo 4

Para esboçar, escolhemos um período típico de x=0 até x=4\pi. Definimos
u = \frac{x}{2},
e tomamos os pontos u=0,\tfrac\pi2,\pi,\tfrac{3\pi}2,2\pi, que correspondem a
x=0,\;\pi,\;2\pi,\;3\pi,\;4\pi.
Calculamos f nesses x:
\begin{aligned} f(0)&=-2\cos(0)=-2,\\\ f(\pi)&=-2\cos\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0,\\\ f(2\pi)&=-2\cos(\pi)=+2,\\\ f(3\pi)&=-2\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}2\bigr)=0,\\\ f(4\pi)&=-2\cos(2\pi)=-2. \end{aligned}

Passo 5

Marque os pontos (0,-2), (\pi,0), (2\pi,2), (3\pi,0), (4\pi,-2) e una-os com a forma suave do cosseno invertido. Repita esse padrão a cada 4\pi.

Resposta

O gráfico de f(x) é uma onda cossenoidal invertida, com amplitude 2, período 4\pi, valor mínimo -2 em x=0,4\pi,8\pi,\dots e valor máximo 2 em x=2\pi,6\pi,\dots.

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