Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao o redor do eixo especificado (faça o esboço da região).
y=x^{2} e y=x, ao redor do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas
y = x^2
e
y = x
em torno do eixo y. O assunto é “cálculo de volumes por rotação” e usaremos o método dos cilindros (shells). Antes de integrar, vale esboçar a região no plano xy: a parábola y=x^2 e a reta y=x se cruzam em (0,0) e (1,1), formando uma área em forma de lente no primeiro quadrante.

Passo 2

Determinamos os pontos de interseção resolvendo
x^2 = x
x(x-1)=0
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x=0\quad\text{ou}\quad x=1.
Em x=0 temos y=0 e em x=1 temos y=1. Assim a região vale para 0\le x\le1, com teto y=x e piso y=x^2.

Passo 3

Como giramos em torno do eixo y, o método dos cilindros é conveniente. Cada cilindro fino, de raio x e espessura \mathrm{d}x, tem altura igual à diferença entre as curvas:
\text{altura} = y_{\text{topo}} - y_{\text{fundo}} = x - x^2.
O volume de um cilindro elementar é
\mathrm{d}V = 2\pi \,(\text{raio})\,(\text{altura})\,\mathrm{d}x = 2\pi\,x\,(x - x^2)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Somando todos os cilindros de x=0 a x=1, obtemos
V = \int_{0}^{1} 2\pi\,x\,(x - x^2)\,\mathrm{d}x = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^2 - x^3\bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1} \bigl(x^2 - x^3\bigr)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
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V = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}.

Resposta

V = \frac{\pi}{6}.

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