Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao o redor do eixo especificado (faça o esboço da região).
y=x^{2} e y=x, ao redor do eixo y.
y=x^{2} e y=x, ao redor do eixo y.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. O assunto é “cálculo de volumes por rotação” e usaremos o método dos cilindros (shells). Antes de integrar, vale esboçar a região no plano
: a parábola
e a reta
se cruzam em
e
, formando uma área em forma de lente no primeiro quadrante.
Passo 2
Determinamos os pontos de interseção resolvendo
logo
Em
temos
e em
temos
. Assim a região vale para
, com teto
e piso
.
Passo 3
Como giramos em torno do eixo
, o método dos cilindros é conveniente. Cada cilindro fino, de raio
e espessura
, tem altura igual à diferença entre as curvas:
O volume de um cilindro elementar é
Passo 4
Somando todos os cilindros de
a
, obtemos
Passo 5
Calculamos a integral:
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