Encontre a área da região limitada pelas curvas. Faça o esboço das curvas e mostre um retângulo elementar:
y=e^2 x, y=-e^-2 x de x=-1 a x=1 R=e^2-e^-2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = e^2x, y = -e^-2x
para x variando de -1 a 1.
O conteúdo aqui é a técnica de integração para área entre duas curvas verticais, usando
Área = integrala^b l[ysup(x) - yinf(x)r],dx Á

Passo 2

Vamos esboçar as duas curvas:
  • y = e^2x é positiva e cresce exponencialmente;
  • y = -e^-2x é negativa e tende a zero pela esquerda.
    A região R fica entre elas, conforme o eixo x vai de -1 a 1.
    Num ponto genérico x, desenhamos um retângulo elementar de base dx e altura
l(ysup - yinfr)(x) = e^2x - l(-e^-2xr) = e^2x + e^-2x

Passo 3

A área total é então
Área(R) = integral-1^1 l[e^2x + e^-2xr],dx Á

Passo 4

Calculamos a integral separando em dois termos:
integral e^2x,dx = 12e^2x, integral e^-2x,dx = -12e^-2x
Logo,
integral-1^1 l[e^2x + e^-2xr],dx = [12e^2x - 12e^-2x]x=-1^x=1 = l(e^2 - e^-2r)

Resposta

A área da região é
e^2 - e^-2

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