Encontre o(s) ponto(s) no paraboloide elíptico x^2+4 y^2-z=4 tais que o plano tangente é paralelo ao plano
2 x+2 y+z=5

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os pontos no paraboloide elíptico x^2 + 4y^2 - z = 4 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2x + 2y + z = 5 . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como derivadas parciais e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano tangente ao paraboloide em um ponto qualquer (x0, y0, z0) . Para isso, calculamos as derivadas parciais do paraboloide em relação a x e y :
partial zpartial x = 2x e partial zpartial y = 8y

Passo 3

A equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) é dada por:
z - z0 = partial zpartial xg|(x0, y0) (x - x0) + partial zpartial yg|(x0, y0) (y - y0)
Substituindo as derivadas:
z - z0 = 2x0 (x - x0) + 8y0 (y - y0)

Passo 4

Simplificando a equação do plano tangente:
z = 2x0 x + 8y0 y - (2x0^2 + 8y0^2) + z0
Mas do paraboloide x^2 + 4y^2 - z = 4 , temos z0 = x0^2 + 4y0^2 - 4 . Substituindo:
z = 2x0 x + 8y0 y - (2x0^2 + 8y0^2) + x0^2 + 4y0^2 - 4
Simplificando mais:
z = 2x0 x + 8y0 y - x0^2 - 4y0^2 - 4

Passo 5

Agora, queremos que este plano tangente seja paralelo ao plano 2x + 2y + z = 5 . Dois planos são paralelos se seus coeficientes angulares forem proporcionais. Ou seja:
2x02 = 8y02 = -11
Isso nos dá as seguintes equações:
x0 = -1 e 8y0 = 2 Rightarrow y0 = 14

Passo 6

Com x0 = -1 e y0 = 14 , calculamos z0 usando a equação do paraboloide:
z0 = (-1)^2 + 4(14)^2 - 4 = 1 + 4(116) - 4 = 1 + 14 - 4 = -114

Resposta

O ponto no paraboloide elíptico x^2 + 4y^2 - z = 4 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2x + 2y + z = 5 é (-1,, 14,, -114) .

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