Encontre o(s) ponto(s) no paraboloide elíptico tais que o plano tangente é paralelo ao plano
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os pontos no paraboloide elíptico onde o plano tangente é paralelo ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como derivadas parciais e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano tangente ao paraboloide em um ponto qualquer . Para isso, calculamos as derivadas parciais do paraboloide em relação a e :
Passo 3
A equação do plano tangente no ponto é dada por:
Substituindo as derivadas:
z - z0 = 2x0 (x - x0) + 8y0 (y - y0)
Passo 4
Simplificando a equação do plano tangente:
z = 2x0 x + 8y0 y - (2x0^2 + 8y0^2) + z0
Mas do paraboloide x^2 + 4y^2 - z = 4 , temos z0 = x0^2 + 4y0^2 - 4 . Substituindo:
z = 2x0 x + 8y0 y - (2x0^2 + 8y0^2) + x0^2 + 4y0^2 - 4
Simplificando mais:
z = 2x0 x + 8y0 y - x0^2 - 4y0^2 - 4
Passo 5
Agora, queremos que este plano tangente seja paralelo ao plano 2x + 2y + z = 5 . Dois planos são paralelos se seus coeficientes angulares forem proporcionais. Ou seja:
2x02 = 8y02 = -11
Isso nos dá as seguintes equações:
x0 = -1 e 8y0 = 2 Rightarrow y0 = 14
Passo 6
Com x0 = -1 e y0 = 14 , calculamos z0 usando a equação do paraboloide: