Questão 1
Faça um resumo e uma descrição sobre força central e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.
Faça um resumo e uma descrição sobre força central e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.
Passo 1
O enunciado pede um resumo sobre força central, descrição dos modelos mais comuns, a resolução de um exemplo particular e a indicação da bibliografia usada.
Passo 2
Primeiro vamos definir o que é força central: é uma força cuja linha de ação passa sempre pelo mesmo ponto (origem) e cujo módulo depende só da distância radial. Em notação vetorial:
Passo 3
Em seguida listamos os modelos clássicos de força central:
- Lei do inverso do quadrado (gravitação newtoniana, força eletrostática de Coulomb) com
. - Oscilador harmônico central com
. - Potencial genérico
que depende apenas de , o que gera uma força central .
Passo 4
Para resolver qualquer problema de força central usamos as duas quantidades conservadas:
- Momento angular
. - Energia mecânica total
Transformamos o problema em estudar o movimento unidimensional na coordenada
com o potencial efetivo
Passo 5
Agora resolvemos um exemplo particular: potencial gravitacional newtoniano
.
Passos resumidos:
a) Escrevemos o potencial efetivo
Passos resumidos:
a) Escrevemos o potencial efetivo
b) A equação do movimento angular nos dá
como função de
. Introduzimos
, então obtemos a equação diferencial
c) A solução geral é
isto é, em termos de
:
onde
e
é a excentricidade que se determina pelas condições iniciais.
Passo 6
Por fim, a referência bibliográfica usada neste resumo e no exemplo foi:
Herbert Goldstein, Charles Poole e John Safko, “Classical Mechanics”, 3ª edição, Addison-Wesley, 2002.
Herbert Goldstein, Charles Poole e John Safko, “Classical Mechanics”, 3ª edição, Addison-Wesley, 2002.
Resposta
Resumo: Força central é aquela dirigida ao longo do raio que liga a partícula a um ponto fixo e depende apenas da distância. Modelos mais comuns:
• Lei do inverso do quadrado (gravitação e Coulomb): .
• Oscilador harmônico central: .
• Potenciais genéricos que geram forças
.
• Lei do inverso do quadrado (gravitação e Coulomb):
• Oscilador harmônico central:
• Potenciais genéricos
Exemplo resolvido (gravitação newtoniana):
- Potencial efetivo:
- Introduzindo
, a equação de órbita:
- Solução em forma de cônica:
com
e excentricidade
.
Referência: Herbert Goldstein, Charles Poole e John Safko, “Classical Mechanics”, 3ª edição, Addison-Wesley, 2002.