Questão 1
Faça um resumo e uma descrição sobre força central e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.

Passo 1

O enunciado pede um resumo sobre força central, descrição dos modelos mais comuns, a resolução de um exemplo particular e a indicação da bibliografia usada.

Passo 2

Primeiro vamos definir o que é força central: é uma força cuja linha de ação passa sempre pelo mesmo ponto (origem) e cujo módulo depende só da distância radial. Em notação vetorial:
F(r)=F(r),r

Passo 3

Em seguida listamos os modelos clássicos de força central:
  • Lei do inverso do quadrado (gravitação newtoniana, força eletrostática de Coulomb) com F(r)=-k/r^2.
  • Oscilador harmônico central com F(r)=-kr.
  • Potencial genérico U(r) que depende apenas de r, o que gera uma força central F(r)=-dU/dr.

Passo 4

Para resolver qualquer problema de força central usamos as duas quantidades conservadas:
  1. Momento angular L=mr^2dottheta.
  2. Energia mecânica total
E=12mdot r^2+L^22mr^2+U(r)
Transformamos o problema em estudar o movimento unidimensional na coordenada r com o potencial efetivo
Uef(r)=U(r)+L^22mr^2

Passo 5

Agora resolvemos um exemplo particular: potencial gravitacional newtoniano U(r)=-dfrackr.
Passos resumidos:
a) Escrevemos o potencial efetivo
Uef(r)=-kr+L^22mr^2
b) A equação do movimento angular nos dá theta como função de r. Introduzimos u=1/r, então obtemos a equação diferencial
d^2udtheta^2+u=mkL^2
c) A solução geral é
u( heta)=mkL^2l[1+ecos(theta-theta0)r],
isto é, em termos de r:
r(theta)=p1+ecos(theta-theta0),
onde p=L^2/(mk) e e é a excentricidade que se determina pelas condições iniciais.

Passo 6

Por fim, a referência bibliográfica usada neste resumo e no exemplo foi:
Herbert Goldstein, Charles Poole e John Safko, “Classical Mechanics”, 3ª edição, Addison-Wesley, 2002.

Resposta

Resumo: Força central é aquela dirigida ao longo do raio que liga a partícula a um ponto fixo e depende apenas da distância. Modelos mais comuns:
• Lei do inverso do quadrado (gravitação e Coulomb): F(r)=-k/r^2.
• Oscilador harmônico central: F(r)=-kr.
• Potenciais genéricos U(r) que geram forças F(r)=-dU/dr.
Exemplo resolvido (gravitação newtoniana):
  1. Potencial efetivo:
Uef(r)=-kr+L^22mr^2
  1. Introduzindo u=1/r, a equação de órbita:
d^2udtheta^2+u=mkL^2
  1. Solução em forma de cônica:
r(theta)=p1+ecos(theta-theta0),
com p=L^2/(mk) e excentricidade e.
Referência: Herbert Goldstein, Charles Poole e John Safko, “Classical Mechanics”, 3ª edição, Addison-Wesley, 2002.

Exercícios relacionados