Encontre a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x+6.

Passo 1

A questão pede a área da região no plano limitada pelas curvas y = x^2 e y = x + 6. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar encontrar os pontos de interseção e depois integrar a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
x^2 = x + 6
Isso leva a
x^2 - x - 6 = 0
Resolvendo, temos as raízes
x = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Logo x = -2 e x = 3.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima da outra no intervalo [-2,3]. Basta avaliar em um ponto qualquer, por exemplo x = 0:
y1 = x^2 = 0, y2 = x + 6 = 6
Logo y = x + 6 é a função superior e y = x^2 a inferior.

Passo 4

Montamos a integral da área como
A = integral-2^3 l[(x + 6) - x^2r] ,dx

Passo 5

Calculamos a integral:
integral (x + 6) ,dx = x^22 + 6x, integral x^2 ,dx = x^33
Portanto,
A = [x^22 + 6x - x^33]-2^3

Passo 6

Avaliação nos limites:
Para x = 3:
3^22 + 6cdot3 - 3^33 = 92 + 18 - 9 = 92 + 9 = 9 + 182 = 272 = 13,5
Para x = -2:
(-2)^22 + 6(-2) - (-2)^33 = 42 -12 + 83 = 2 -12 + 83 = -10 + 83 = -303 + 83 = -223
Subtraindo,
A = 13,5 - l(-tfrac223r) = 272 + 223 = 81 + 446 = 1256

Resposta

A área da região é tfrac1256.

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