Escreva F(x) na forma f(g(x)) e encontre sua derivada.
2) F(x)=raiz4+3 x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para escrever a função F(x) = raiz4 + 3x na forma de uma composição de funções, ou seja, F(x) = f(g(x)) . Depois disso, vamos encontrar a derivada dessa função. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções compostas e a regra da cadeia da derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem F(x) . Podemos pensar em g(x) como a parte interna da função e f(u) como a parte externa.
Aqui, a parte interna é 4 + 3x , então podemos definir:
g(x) = 4 + 3x

Passo 3

A parte externa é a raiz quadrada da função interna. Então, definimos:
f(u) = raizu
onde u = g(x) .

Passo 4

Agora, temos:
F(x) = f(g(x)) = raiz4 + 3x
Isso confirma que escrevemos F(x) como a composição de duas funções f e g .

Passo 5

Para encontrar a derivada de F(x) , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta f(g(x)) é:
F'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar f'(u) . Sabemos que:
f(u) = raizu = u^1/2
Derivando em relação a u :
f'(u) = 12u^-1/2 = 12raizu

Passo 7

Agora, encontramos g'(x) . Como:
g(x) = 4 + 3x
Derivando em relação a x :
g'(x) = 3

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia:
F'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x) = 12raizg(x) cdot 3
Substituindo g(x) por 4 + 3x :
F'(x) = 12raiz4 + 3x cdot 3

Passo 9

Simplificando a expressão:
F'(x) = 32raiz4 + 3x

Resposta

A derivada de F(x) = raiz4 + 3x é:
F'(x) = 32raiz4 + 3x

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