Escreva
na forma
e encontre sua derivada.
2)
2)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para escrever a função
na forma de uma composição de funções, ou seja,
. Depois disso, vamos encontrar a derivada dessa função. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções compostas e a regra da cadeia da derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem
. Podemos pensar em
como a parte interna da função e
como a parte externa.
Aqui, a parte interna é
, então podemos definir:
Passo 3
A parte externa é a raiz quadrada da função interna. Então, definimos:
onde
.
Passo 4
Agora, temos:
Isso confirma que escrevemos
como a composição de duas funções
e
.
Passo 5
Para encontrar a derivada de
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é:
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar
. Sabemos que:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Agora, encontramos
. Como:
Derivando em relação a
:
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
por
:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada de
é: