Encontre a derivada da função.
12) h(x)=sec ^2(x)+tan ^2(x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função h(x) = sec^2(x) + tan^2(x) e precisamos encontrar sua derivada. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas, especificamente as derivadas de secante e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as derivadas de sec(x) e tan(x) .
Sabemos que:
ddx sec(x) = sec(x) tan(x)
e
ddx tan(x) = sec^2(x)
No exercício, temos sec^2(x) e tan^2(x) , então vamos aplicar a regra da cadeia para derivar cada termo.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo sec^2(x) .
Usando a regra da cadeia, onde se tem [f(x)]^n , a derivada é n [f(x)]^n-1 cdot f'(x) .
Aplicando isso a sec^2(x) :
ddx sec^2(x) = 2 sec(x) cdot ddx sec(x) = 2 sec(x) cdot sec(x) tan(x) = 2 sec^2(x) tan(x)

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo tan^2(x) .
Aplicando novamente a regra da cadeia:
ddx tan^2(x) = 2 tan(x) cdot ddx tan(x) = 2 tan(x) cdot sec^2(x) = 2 sec^2(x) tan(x)

Passo 5

Finalmente, somamos as derivadas dos dois termos para encontrar a derivada total de h(x) :
h'(x) = 2 sec^2(x) tan(x) + 2 sec^2(x) tan(x) = 4 sec^2(x) tan(x)

Resposta

A derivada da função h(x) é:
h'(x) = 4 sec^2(x) tan(x)

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