Encontre a derivada da função.
9) f(x)=3 sen(2 x)cos ^2(2 x)+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=3,sen(2x)cos^2(2x)+1
O conteúdo aqui é aplicação da regra do quociente para derivadas, que exige também usar a regra da cadeia para derivar composições.

Passo 2

Definimos
u(x)=3,sen(2x), v(x)=cos^2(2x)+1
Para u(x) usamos a regra da cadeia em sen(2x):
u'(x)=3cdotcos(2x)cdot(2)=6,cos(2x)
Para v(x) derivamos cos^2(2x) como 2cos(2x) vezes a derivada de cos(2x), isto é -sin(2x)cdot2:
v'(x)=2,cos(2x)cdotl(-2sin(2x)r)=-4,cos(2x),sin(2x)

Passo 3

Aplicando a regra do quociente
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
substituímos u, u', v e v':
f'(x) =6cos(2x)l(cos^2(2x)+1r);-;3,sen(2x)l(-4cos(2x)sin(2x)r) (cos^2(2x)+1)^2

Passo 4

No numerador fatoramos 6cos(2x):
6cos(2x)l(cos^2(2x)+1r) +12sin^2(2x)cos(2x) =6cos(2x)l(cos^2(2x)+1+2sin^2(2x)r)
Como cos^2(2x)+2sin^2(2x)=1+sin^2(2x), o termo entre parênteses fica
1+sin^2(2x)+1=2+sin^2(2x)
Logo
f'(x) =6cos(2x)l(2+sin^2(2x)r)(cos^2(2x)+1)^2

Resposta

f'(x) =6cos(2x),l(2+sin^2(2x)r)l(cos^2(2x)+1r)^2

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