(Série de Maclaurin) Determine a série de Maclaurin da função
f(x)=e^{x}
e use os quatro primeiros termos para aproximar e^{0,1}. Compare com o valor real (arredondado a 4 casas decimais).

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^x e, em seguida, que a usemos para aproximar e^{0,1} pelos quatro primeiros termos. Vamos precisar da definição de série de Taylor/Maclaurin:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.

Passo 2

Para f(x)=e^x valem f^{(n)}(x)=e^x e, em particular, f^{(n)}(0)=1 para todo n. Logo a série de Maclaurin é
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.
Os quatro primeiros termos (até n=3) dão
S_3(x)=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}.

Passo 3

Agora avaliamos em x=0,1. Calculando termo a termo:
1,\quad 0,1,\quad \frac{(0,1)^2}{2}=0,005,\quad \frac{(0,1)^3}{6}\approx0,000166667.
Somando, a aproximação fica
S_3(0,1)\approx1 + 0,1 + 0,005 + 0,000166667 = 1,105166667.

Passo 4

O valor exato e^{0,1} (por calculadora) é
e^{0,1}\approx1,105170918\approx1,1052\quad(\text{4 casas decimais}).
Comparando, o polinômio de grau 3 dá 1,1051667, que difere do real em cerca de
1,1052 - 1,1051667 \approx 0,0000333\quad(\text{ou }3,33\times10^{-5}).

Resposta

Série de Maclaurin:
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.
Quatro primeiros termos em x=0,1:
e^{0,1}\approx1 + 0,1 + 0,005 + 0,000166667 = 1,105166667.
Valor real arredondado a 4 casas decimais:
e^{0,1}\approx1,1052.
Erro aproximado:
\bigl|1,1052 - 1,105166667\bigr|\approx3,33\times10^{-5}.

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