Encontre a área da região do plano xy que está fora da rosácea r=2 sen(2 theta) e dentro do círculo de centro na origem e raio igual a 2 .

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro do círculo de raio 2 e fora da rosácea
r=2sin(2theta)
O conteúdo aqui é área em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula da área de uma região polar:
A = 12 integraltheta1^theta2 r(theta)^2,dtheta

Passo 2

Calculemos primeiro a área do círculo de raio 2. Em coordenadas polares, esse círculo é dado por r=2 para theta de 0 a 2pi. Logo,
Acírculo = 12 integral0^2pi (2)^2,dtheta = 12 integral0^2pi 4,dtheta = 2 l[thetar]0^2pi = 4pi í

Passo 3

Agora calculamos a área da rosácea r=2sin(2theta). Ela também se fecha quando theta vai de 0 a 2pi. Assim,
Arosácea = 12 integral0^2pi l(2sin(2theta)r)^2 dtheta = 12 integral0^2pi 4sin^2(2theta),dtheta =2integral0^2pisin^2(2theta),dtheta á

Passo 4

Use a identidade sin^2 u = tfrac12(1-cos(2u)) com u=2theta:
2integral0^2pisin^2(2theta),dtheta =2integral0^2pi1-cos(4theta)2,dtheta =integral0^2pil(1-cos(4theta)r)dtheta
Integrando:
integral0^2pi1,dtheta -integral0^2picos(4theta),dtheta =2pi - l[tfrac14sin(4theta)r]0^2pi =2pi
Assim Arosácea=2piá.

Passo 5

A região desejada é o interior do círculo menos a área coberta pela rosácea. Logo,
A = Acírculo - Arosácea =4pi - 2pi =2pi íá

Resposta

2pi

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