Verifique se as funções abaixo são contínuas em

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 2sin(x)+cos(x),&x<0, 2,&x=0, lnl((1+x)^1/xr),&x>0,
e pede para verificar se f é contínua em x=0. Para isso vamos calcular os limites laterais em 0 e comparar com o valor f(0)=2.

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda usando a linearidade do limite e o fato de sin xto0 e cos xto1 quando xto0:
limxto0^-f(x) =limxto0^-l(2sin x+cos xr) =2cdot0+1 =1

Passo 3

Calculamos o limite pela direita escrevendo
limxto0^+lnl((1+x)^1/xr) =limxto0^+ln(1+x)x
Como esta é uma forma tfrac00, aplicamos l’Hôpital:
limxto0^+ln(1+x)x =limxto0^+ddxln(1+x)ddxx =limxto0^+1/(1+x)1 =1

Passo 4

Tanto o limite pela esquerda quanto o pela direita valem 1, ou seja
limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x) =1,
porém f(0)=2. Como o limite bilateral em 0 não coincide com o valor de f em 0, concluímos que f não é contínua em x=0.

Resposta

A função não é contínua em x=0, pois
limxto0f(x)=1neq f(0)=2

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