Encontre a área da região S formada entre os gráfic funções y=x+2 e y=4 x-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região S limitada pelas curvas
y = x + 2
e
y = 4x - x^2.
Conteúdo: cálculo de área entre curvas pelo método de integração. Plano de resolução: (i) achar pontos de interseção; (ii) determinar qual curva está acima; (iii) montar e calcular a integral definida da diferença das funções.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
x + 2 = 4x - x^2
e trazemos todos os termos para um lado:
x^2 - 3x + 2 = 0.
As raízes são
x = 1 \quad\text{e}\quad x = 2.

Passo 3

Precisamos ver qual curva fica acima no intervalo [1,2]. Para x=1{,}5:
\text{reta: }y = 1{,}5 + 2 = 3{,}5, \quad \text{parábola: }y = 4\cdot1{,}5 - (1{,}5)^2 = 6 - 2{,}25 = 3{,}75.á
Logo, entre x=1 e x=2 vale
4x - x^2 \ge x + 2.

Passo 4

A área A é dada por
A = \int_{1}^{2}\bigl[(4x - x^2) - (x + 2)\bigr]\,dx = \int_{1}^{2}\bigl(-x^2 + 3x - 2\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int\bigl(-x^2 + 3x - 2\bigr)\,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x.
Logo,
A = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x\right]_{1}^{2} = \bigl(-\tfrac{8}{3}+6-4\bigr)\;-\;\bigl(-\tfrac{1}{3}+\tfrac{3}{2}-2\bigr) = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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