Questão 2 ( 2,0 pontos)
Prove que 20^{15} - 1 é divisível por 11 \cdot 31.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
20^{15}-1
é divisível por
11\cdot31.
O conteúdo envolvido é o de congruências e o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que, se p é primo e p\nmid a, então
a^{p-1}\equiv1\pmod p.

Passo 2

Vamos verificar a congruência módulo 11. Primeiro, reduzimos a base:
20\equiv9\pmod{11}.
Então
20^{15}\equiv9^{15}\pmod{11}.
Como 9^2=81\equiv4\pmod{11}, temos
9^5 = 9\cdot(9^2)^2 \equiv 9\cdot4^2 = 9\cdot16 = 144 \equiv1\pmod{11}.
Logo
9^{15} = \bigl(9^5\bigr)^3 \equiv1^3 = 1\pmod{11},
o que implica
20^{15}\equiv1\pmod{11} \quad\Longrightarrow\quad 11\mid\bigl(20^{15}-1\bigr).

Passo 3

Agora fazemos o mesmo módulo 31. Calculamos potências pequenas de 20:
20^2 = 400 \equiv 400 - 31\cdot12 = 28\pmod{31},
20^3 = 20\cdot20^2 \equiv 20\cdot28 = 560 \equiv 560 - 31\cdot18 = 2\pmod{31}.
Portanto
20^{15} = (20^3)^5 \equiv 2^5 = 32 \equiv 1\pmod{31},
e assim
31\mid\bigl(20^{15}-1\bigr).

Passo 4

Como 20^{15}-1 é divisível por 11 e por 31, concluímos que é divisível por
11\cdot31.

Resposta

Logo, 11\cdot31 divide 20^{15}-1, ou seja, 20^{15}-1 é divisível por 11\cdot31.

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