Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
f(x, y, z)=-\sqrt{x^{2}+2(y-7)^{2}+3 z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y,z) = -\sqrt{x^{2} + 2\,(y-7)^{2} + 3\,z^{2}}.
Conteúdo necessário: definição de ponto crítico em várias variáveis ( \nabla f = 0 ou \nabla f não existe) e cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.

Passo 2

Analisando o domínio e a diferenciabilidade de f:
A expressão dentro da raiz,
u(x,y,z) = x^{2} + 2\,(y-7)^{2} + 3\,z^{2},
é sempre \ge 0. Para u>0, f é diferenciável e podemos calcular \nabla f normalmente. Em u=0, ou seja no ponto (0,7,0), a derivada da raiz não existe (denominador zero), logo ali há falha de diferenciabilidade.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em pontos com u>0. Pela regra da cadeia:
f_x = -\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x = -\frac{x}{\sqrt{u}},
f_y = -\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 4(y-7) = -\frac{2\,(y-7)}{\sqrt{u}},
f_z = -\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 6z = -\frac{3z}{\sqrt{u}}.

Passo 4

Para \nabla f = 0 em u>0 é preciso
x = 0,\quad y-7 = 0,\quad z = 0,
o que leva ao único candidato (0,7,0). Porém, nesse ponto u=0, o gradiente não existe, caracterizando-o também como ponto crítico (por falta de diferenciabilidade).

Passo 5

Não há nenhum outro ponto onde \nabla f = 0 (pois fora de (0,7,0) o denominador em \nabla f é positivo e só zera se todas as coordenadas forem as acima) e nenhum outro ponto de não diferenciabilidade.

Resposta

O único ponto crítico é (0,7,0).

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