Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
Conteúdo necessário: definição de ponto crítico em várias variáveis (
ou
não existe) e cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.
Passo 2
Analisando o domínio e a diferenciabilidade de
:
A expressão dentro da raiz,
A expressão dentro da raiz,
é sempre
. Para
,
é diferenciável e podemos calcular
normalmente. Em
, ou seja no ponto
, a derivada da raiz não existe (denominador zero), logo ali há falha de diferenciabilidade.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais em pontos com
. Pela regra da cadeia:
Passo 4
Para
em
é preciso
o que leva ao único candidato
. Porém, nesse ponto
, o gradiente não existe, caracterizando-o também como ponto crítico (por falta de diferenciabilidade).
Passo 5
Não há nenhum outro ponto onde
(pois fora de
o denominador em
é positivo e só zera se todas as coordenadas forem as acima) e nenhum outro ponto de não diferenciabilidade.
Resposta
O único ponto crítico é
.