Encontre a área das superfícies.
A região definida pela tampa parabólica
sobre o cone
.
A região definida pela tampa parabólica
Passo 1
A questão pede a área da parte da superfície definida por z=2−x²−y² que fica ‘acima’ do cone z=√(x²+y²). O conteúdo aqui é área de superfície de gráfico de função z=f(x,y) e vamos usar a fórmula
.
Passo 2
Precisamos descobrir a projeção R no plano xy: a fronteira ocorre quando a parábola e o cone se cortam, ou seja, quando 2−r²=r, em coordenadas polares (r,θ). Resolvendo 2−r²=r resulta em r²+r−2=0, cuja raiz positiva é r=1. Logo R é o disco {0≤r≤1, 0≤θ≤2π}.
Passo 3
Em coordenadas polares a função é f(r,θ)=2−r². Calculamos as derivadas parciais:
e
. A fórmula da área em polares fica então
.
Passo 4
Separamos a integral em θ e r:
Passo 5
Fazemos a substituição u=1+4r² ⇒ du=8rdr, logo r
dr=du/8. Quando r=0 temos u=1 e quando r=1 temos u=5. A integral em r vira
Passo 6
Multiplicando pelo fator 2π, obtemos