Encontre a área das superfícies.
A região definida pela tampa parabólica z=2-x^2-y^2 sobre o cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

A questão pede a área da parte da superfície definida por z=2−x²−y² que fica ‘acima’ do cone z=√(x²+y²). O conteúdo aqui é área de superfície de gráfico de função z=f(x,y) e vamos usar a fórmula A=integral duplaRraiz1+fx^2+fy^2,dA.

Passo 2

Precisamos descobrir a projeção R no plano xy: a fronteira ocorre quando a parábola e o cone se cortam, ou seja, quando 2−r²=r, em coordenadas polares (r,θ). Resolvendo 2−r²=r resulta em r²+r−2=0, cuja raiz positiva é r=1. Logo R é o disco {0≤r≤1, 0≤θ≤2π}.

Passo 3

Em coordenadas polares a função é f(r,θ)=2−r². Calculamos as derivadas parciais: fr=∂f/∂r=−2r e fθ=0. A fórmula da área em polares fica então A=integral0^2πintegral0^1raiz1+fr^2+fθ^2,r,dr,dθ=integral0^2πintegral0^1raiz1+4r^2,r,dr,dθ.

Passo 4

Separamos a integral em θ e r:
A=2πintegral0^1rraiz1+4r^2,dr

Passo 5

Fazemos a substituição u=1+4r² ⇒ du=8rdr, logo r
dr=du/8. Quando r=0 temos u=1 e quando r=1 temos u=5. A integral em r vira
integral0^1rraiz1+4r^2,dr=integralu=1^5raizu,duover8=1over8cdot2over3l[u^3/2r]1^5=1over12l(5^3/2-1r)

Passo 6

Multiplicando pelo fator 2π, obtemos
A=2πtimes1over12l(5^3/2-1r)=πover6(5raiz5-1)

Resposta

A=π6l(5raiz5-1r)

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