Encontre a área do triângulo em R^3 cujas extremidades são (1,2,1),(3,-1,4), e (2,2,2). ()Área não volume - um triângulo define um plano, qual é a área deste triângulo naquele plano.)

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo no espaço tridimensional, ou seja, em R^3. As extremidades desse triângulo são os pontos (1,2,1), (3,-1,4) e (2,2,2). Nosso objetivo aqui é encontrar a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial, que nos ajuda a calcular áreas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar os pontos dados em vetores que representam os lados do triângulo. Escolhemos um ponto como origem, digamos (1,2,1), e criamos dois vetores a partir desse ponto para os outros dois pontos.

Passo 3

Então, temos:
  • Vetor u indo de (1,2,1) para (3,-1,4):
u = (3-1, -1-2, 4-1) = (2, -3, 3)
  • Vetor v indo de (1,2,1) para (2,2,2):
v = (2-1, 2-2, 2-1) = (1, 0, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores, u times v. O resultado desse produto vetorial será um novo vetor perpendicular ao plano formado por u e v, e a magnitude desse vetor será igual à área do paralelogramo formado por u e v.

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
u times v = i & j & k 2 & -3 & 3 1 & 0 & 1 = i((-3)(1) - (3)(0)) - j((2)(1) - (3)(1)) + k((2)(0) - (-3)(1))
Simplificando:
u times v = i(-3) - j(-1) + k(3) = (-3, 1, 3)

Passo 6

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(-3)^2 + 1^2 + 3^2 = raiz9 + 1 + 9 = raiz19

Passo 7

Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo formado pelos vetores u e v, temos:
Área do triângulo = |u times v|2 = raiz192 Áâ

Resposta

A área do triângulo é dfracraiz192 unidades de área.

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