pontos) Calcule
, sendo
, com
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
é dado por
. A curva
é parametrizada por
para
variando de
a
.
Então, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha. Para resolver, precisamos parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização e fazer a substituição na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva
. A função
nos diz que:
- A coordenada
é . - A coordenada
é .
Isso significa que, conforme
varia de
a
, a curva se move de
até
, passando pelo ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização
em relação a
, ou seja,
.
Calculando:
Passo 4
Em seguida, substituímos as coordenadas
e
pela parametrização na expressão do campo vetorial
.
Dado que
, substituindo
e
, temos:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o produto escalar
.
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Com o produto escalar calculado, a integral de linha se torna uma integral comum em
:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Finalmente, avaliamos a antiderivada nos limites de
a
:
Resposta
O valor da integral
é 0.