(2,5 pontos) Calcule integralC F d r, sendo de<a(t)=(t, t^2),-1 <= t <= 1, com F=x imath+y jmath :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial F é dado por F = x,imath + y,jmath. A curva C é parametrizada por de<a(t) = (t, t^2) para t variando de -1 a 1.
Então, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha. Para resolver, precisamos parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização e fazer a substituição na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva C. A função de<a(t) = (t, t^2) nos diz que:
  • A coordenada x é t.
  • A coordenada y é t^2.
Isso significa que, conforme t varia de -1 a 1, a curva se move de (-1, 1) até (1, 1), passando pelo ponto (0, 0).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização de<a(t) em relação a t, ou seja, dr/dt.
Calculando:
drdt = ( dxdt, dydt ) = ( d(t)dt, d(t^2)dt ) = (1, 2t)

Passo 4

Em seguida, substituímos as coordenadas x e y pela parametrização na expressão do campo vetorial F.
Dado que F = x,imath + y,jmath, substituindo x = t e y = t^2, temos:
F(t) = t,imath + t^2,jmath

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar F cdot drdt.
Fazendo a multiplicação:
F cdot drdt = (t)(1) + (t^2)(2t) = t + 2t^3

Passo 6

Com o produto escalar calculado, a integral de linha se torna uma integral comum em t:
integralC F cdot dr = integral-1^1 (t + 2t^3),dt

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (t + 2t^3),dt = integral t,dt + 2integral t^3,dt = t^22 + 2 cdot t^44 = t^22 + t^42

Passo 8

Finalmente, avaliamos a antiderivada nos limites de -1 a 1:
[ t^22 + t^42 ]-1^1 = ( 1^22 + 1^42 ) - ( (-1)^22 + (-1)^42 ) = ( 12 + 12 ) - ( 12 + 12 ) = 1 - 1 = 0

Resposta

O valor da integral integralC F cdot dr é 0.

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