Encontre as áreas da região sombreada.
y=2 y^2, x=4+y^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas duas parábolas que abrem para a direita
x = 2y^2
e
x = 4 + y^2
O conteúdo é cálculo de área entre curvas usando integração em y; vamos precisar encontrar onde elas se intersectam e depois montar a integral de l[xdireita-xesquerdar] em função de y.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
2y^2 = 4 + y^2
Isso dá
2y^2 - y^2 = 4 Longrightarrow y^2 = 4 Longrightarrow y = pm 2
Logo, a região vai de y=-2 até y=2.

Passo 3

Cada fatia horizontal, de espessura dy, tem largura
xdireita - xesquerda = l(4 + y^2r) - l(2y^2r) = 4 - y^2
Portanto a área é
Área = integraly=-2^2 l(4 - y^2r),dy Á

Passo 4

A função 4 - y^2 é par, então podemos dobrar a integral de 0 a 2:
Área = 2integral0^2 l(4 - y^2r),dy = 2l[,4y - tfracy^33r]0^2 = 2l(,8 - tfrac83r) = 2cdot tfrac163 = tfrac323 Á

Resposta

323

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