Encontre as áreas das regiões.
Dentro da lemniscata r^2=2 a^2 cos 2 theta, a>0

Passo 1

Neste exercício temos a lemniscata dada por
r^2=2a^2cos2theta, a>0
e queremos encontrar a área de cada uma das duas regiões (os dois “laços”). O conteúdo principal é a fórmula de área em coordenadas polares: A=tfrac12integral r^2,dtheta.

Passo 2

Para que r seja real e não negativo, precisamos de r^2>=0, ou seja Isso acontece quando
cos2theta>=0
Os dois laços correspondem a 2thetain[-tfracpi2,tfracpi2]+2kpiLongrightarrowthetain[-tfracpi4,tfracpi4]+kpi e a thetain[-tfracpi4,tfracpi4].

Passo 3

Vamos calcular a área de um laço, por exemplo para theta de -tfracpi4 até tfracpi4. Usando A=tfrac12integral r^2dtheta, temos
Alaço=12integral-pi/4^pi/42a^2cos2theta,dtheta =a^2integral-pi/4^pi/4cos2theta,dthetaç

Passo 4

Agora integramos:
integralcos2theta,dtheta =tfrac12sin2theta
Então
Alaço=a^2l[tfrac12sin2thetar]-pi/4^pi/4 =a^2cdottfrac12l(sintfracpi2-sin(-tfracpi2)r)=a^2cdottfrac12(1-(-1))=a^2ç

Passo 5

Pelo princípio de simetria, o outro laço tem exatamente a mesma área. Portanto cada uma das duas regiões interna à lemniscata tem área a^2.

Resposta

Cada laço da lemniscata tem área a^2, totalizando 2a^2 para as duas regiões.

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