Encontre as áreas das regiões.
Dentro da lemniscata
Dentro da lemniscata
Passo 1
Neste exercício temos a lemniscata dada por
e queremos encontrar a área de cada uma das duas regiões (os dois “laços”). O conteúdo principal é a fórmula de área em coordenadas polares:
Passo 2
Para que
seja real e não negativo, precisamos de
, ou seja Isso acontece quando
Os dois laços correspondem a
Passo 3
Vamos calcular a área de um laço, por exemplo para
de
até
. Usando
, temos
Passo 4
Agora integramos:
Então
Passo 5
Pelo princípio de simetria, o outro laço tem exatamente a mesma área. Portanto cada uma das duas regiões interna à lemniscata tem área
.
Resposta
Cada laço da lemniscata tem área
, totalizando
para as duas regiões.